数学講座案内 講座案内・時間割 | Ｋ会 冬期講習

中高生の方であればどなたでもご受講いただけます。

本講座のテーマは、文字式の基本的な扱い方を身に付けることです。さまざまな現象をひとつの式でまとめて表すために、文字式は数学のほとんどすべての場面で用いられます。したがって文字式は数学における最も基本的で重要な概念であるといえるでしょう。文字式の重要な利用法として、未知の数が満たすべき性質を表す等式を作るというものがあります。この過程でできる等式を方程式といいますが、方程式による問題解決法は、「わからないもの」を「わかっているもの」のように扱うことができるため、非常に強力であるといえます。このような、現象を記述する道具としての有用性に加えて、文字式はそれ自身も多くの興味深い性質を持っています。代入と因数分解を結びつける因数定理や、方程式の解と係数の関係はその最たる例です。本講座で文字式の性質に対する深い理解を習得して今後の学習に役立ててください。

第1講　文字式
第2講　因数分解
第3講　2次方程式
第4講　さまざまな方程式

ルートについての基礎知識を必要とします。

関数とは数に数を対応させる規則のことです。たとえば「時刻が経過するにつれて物の位置がどのように変化するか」「ある場所の角度を変えると別の場所の長さはどのように変化するか」といったことが、関数を考えることに相当します。関数の定義はシンプルですが、その分非常に応用が利きます。数学の多くの場面で現れ、文字式と並び最重要な知識のひとつです。本講座では関数とは何かから始まり、視覚的に理解するためにグラフを描き、代表的な式変形に慣れることをめざします。特に、図形における長さと角度の関係を記述する「三角関数」や、べき乗の概念の一般化である「指数関数」、指数関数と表裏一体の関係にある「対数関数」の扱いに慣れることで、今後の学習が非常にスムーズになるでしょう。さらに関数のグラフの関係についても詳しく学び、式変形したときにグラフがどのように変化するかを考える力も身に付けていきます。本講座で得る関数についての知識は今後の学習の大切な土台となるでしょう。

第1講　関数とは
第2講　三角関数
第3講　関数とグラフの関係
第4講　指数関数・対数関数

三角関数、指数・対数関数についての基礎知識を必要とします。

関数を調べるときにはグラフを描くとその値の挙動が視覚的に捉えられて便利です。しかし、1次関数などの簡単な関数や三角関数などのよく知られた関数を除き、グラフを描くのは困難な作業です。そこで登場するのが今回のテーマである微分法です。微分法は関数の瞬間的な変化率を求める方法であり、グラフにおいては接線の傾きを求めることに相当します。これによって、グラフが右上がりか右下がりか、あるいは上下どちらに出っ張っているかがわかります。さらに、関数の値の増減の様子がよく反映されたグラフを描くことが可能になるのです。また、本講座では、微分法と並んで重要な手法である積分法を学習します。積分法は図形の面積を求める方法ですが、実は微分法と密接に関連しています。微積分は他分野への応用も広く、自然科学全般を支える道具の一つです。4日間の学習は奥深い数学の世界へ進むための万全な準備となるでしょう。

第1講　極限・微分
第2講　指数関数・対数関数・三角関数の微分
第3講　微分とグラフ
第4講　積分

座標平面、三角関数についての基礎知識を必要とします。

ベクトルとは、大きさと向きを持つ対象で、図形を捉える際に強力な道具となります。本講座では、はじめに平面のベクトルを扱います。まず、ベクトルの基本的な演算である和とスカラー倍について学び、ベクトルに慣れ親しんだ後、内積という演算を導入していきます。内積を学ぶ過程で、ベクトルが長さや角度を扱う際に非常に有効な道具であることがわかるでしょう。後半ではベクトルの概念を空間に拡張し、それにより空間内の図形もベクトルで記述できるようになります。さらに外積という演算によって、さまざまな量が容易に計算できるようになります。このようにベクトルは、さまざまな図形を記述し、長さ、角度、体積といった量を扱ううえで非常に役に立ちます。本講座を通してベクトルの扱い方を身に付け、図形に対するより深い理解を手に入れてください。

第1講　平面のベクトル
第2講　平面上の図形
第3講　空間のベクトル
第4講　空間内の図形

文字式の計算、ルートの計算についての基礎知識を必要とします。

整数論の特徴は、誰にでもわかる問題設定から出発して、非常に高度な理論が展開されていくところにあります。たとえば本講座では、「x2－2y2＝1」「x2＋y2＝200」などの方程式の解を整数の範囲で求めるという問題から始めていきます。このような方程式では、一見すると手作業で地道に解を調べ上げるしか方法はなさそうですし、解の様子もかなり不規則に思えるでしょう。しかし、√̅̅2などの無理数をも対象とした「代数的整数論」を考えると、このような方程式の解の様子を鮮明に捉えることができるのです。講座の後半には、上に挙げたような方程式の解を皆さん自身の手で分析できるようになります。最初は複雑に思えた問題が、理論を構築して高い視点に立つと見事に整理されるという数学の醍醐味を、ぜひ体感してください。

第1講　Pell方程式と無理数の整数論
第2講　方程式2＋2＝n
第3講　UFDの整数論
第4講　素イデアル分解

微分・積分についての基礎知識を必要とします。

第1講　超越数論
第2講　Thueの定理

集合についての基礎知識を必要とします。

方程式は、数を求めるためだけのものではありません。たとえばy=x²は放物線を表し、x²+y²=1は円を表します。このように、多項式の方程式によって表される図形を調べる分野を、代数幾何学といいます。一方で、整数や多項式のように、足し算と掛け算ができる世界そのものを調べる分野が可換環論です。ここで「可換」とは、掛け算の順序を入れ替えても結果が変わらないという意味です。可換環論は一見すると式の計算の理論ですが、実は方程式でできる図形を理解するための強力な言葉にもなります。たとえば放物線y=x²の上では、yとx²はいつも同じ値をとります。したがって、この放物線の上だけで考えるなら、y-x²は0とみなしてよい式です。さらに、y-x²に別の多項式を掛けたものも、やはり放物線の上では0になります。このように、「ある図形の上で0になる多項式」をまとめて考えることで、図形の性質を代数的に扱うことができます。本講座の目標は、「方程式で表される図形」と「多項式の計算」がどのように対応しているのかを実感し、その対応を正確に述べるHilbertの零点定理へ到達することです。中学・高校で学ぶ方程式や図形を出発点にして、可換環論から代数幾何学への入口をのぞいてみましょう。

第1講　環と加群
第2講　環のスペクトルとZariski位相
第3講　局所化と整拡大
第4講　Hilbertの零点定理

Ｋ会レギュラー講座「現代数学」受講生向けの講座です。会員以外で受講をご希望の方はご相談ください。

世界にはさまざまな対称性があります。数学において、対称性を代数的に記述する方法の一つが群であり、Galois理論においても、方程式（体拡大）の対称性としてGalois群が用いられます。しかし、群自体を直接調べることは簡単ではないため、代わりに群の表現というものを調べることが有効であると考えられています。群の表現とは簡単にいえば、群がベクトル空間の対称性として具体的にどう表れるかを考えたものです。今回は特に有限群に対しての表現論を紹介します。この場合、表現には実質的にいくつかのパターンしかないことや、指標という群上の関数を用いて表現を調べることが可能であるなど、美しい一般論が展開されます。例や演習を通して多くの具体例に触れてもらう予定です。一般論が応用される様をぜひ楽しんでください。

第1講　群の表現
第2講　指標の理論
第3講　表現と指標の例
第4講　対称群の既約表現

日本数学オリンピックの本選や国際数学オリンピックで出題されるレベルの問題を扱います。

皆さんは国際数学オリンピック（IMO）を知っていますか？IMOは1959年にルーマニアで第1回大会が開催され、2026年で67回を迎えた歴史あるコンテストです。上海で行われた67回大会には117の国や地域から630名の選手が参加しました。選手たちは、各国の大会を経て代表に選抜されています。皆さんの中にも日本代表を選抜する大会、日本数学オリンピック（JMO）に参加された方がいらっしゃることでしょう。選抜大会で出題される問題は普段学校で扱う数学の問題とは一味違い、深い思考力が必要とされます。数学者や数学教育に携わる者が練りに練った良問を、一部のコンテスト参加者だけが解くのは非常にもったいないことです。また、数学は国によるカリキュラムの差異が少なく、問題文さえ読むことができれば海外の問題を解くことは難しいことではありません。世界の同年代が、どのような問題を解いているのか知りたいと思いませんか？そこで本講座では、皆さんに国際大会や各国の代表選抜大会で出題された問題に挑んでいただきます。演習時間を十分に設け、その後は問題の考え方・解き方を丁寧に解説します。解ける・解けないは気にせずに難問に挑戦すること、思考することそのものをぜひ楽しんでください。

4日間（180分×4講）で複数の国の問題を扱います。出題する問題は各国の国内予選（日本数学オリンピック［JMO］に相当する大会）や、国際数学オリンピック［IMO］をはじめとする国際大会の問題です。