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数学講座案内 講座案内・時間割 | K会 冬期集中講座

各講座の詳しい内容をご紹介します。

K会の教室窓口ではテキストもご覧いただけます。講座選択にあたってご参考になさってください。

文字式 ~数から文字への飛躍~

分野一望

受講目安

主な対象学年は中1・中2生としますが、この分野をじっくり学びたい中3生以上にも適当です。予備知識は必要ありません。

講座内容

この講座のテーマは、文字式の基本的な扱い方を身に着けることです。現象を個別に扱うのではなく統一的に記述する場合に文字は頻繁に用いられます。したがって文字式は数学における最も基本的で重要な概念であるといえるでしょう。文字の別の利用法として、わからないものを文字で表して等式を作り、その等式を満たすものとして所望の値を求めるというものがあります。この過程でできる等式を方程式といいますが、方程式による問題解決法は、「わからないもの」を「わかっているもの」のように扱うことができるため、非常に強力であるといえます。このような、現象を記述する道具としての有用性に加えて、文字式はそれ自身も多くの興味深い性質を持っています。代入と因数分解を結びつける因数定理や、方程式の解と係数の関係はその最たる例です。この講座で文字式の性質に対する深い理解を習得して今後の数学の勉強に役立ててください。

本講座の学習内容と中学・高校での履修時期

本講座の学習内容 中1 中2 中3 高1 高2 高3
展開
多項式の除法
因数分解
1次方程式・連立方程式
2次方程式・高次方程式

テーマ

第1講 文字式
第2講 因数分解
第3講 2次方程式
第4講 さまざまな方程式

時間割・担当講師

日程

12月20日(金)~12月23日(月)

時間

17:30~20:40

講座コード

M131

講師名

西本 将樹

日程

1月4日(土)~1月7日(火)

時間

13:00~16:10

講座コード

M321

講師名

布施 音人

関数 ~数の対応のきらめき~

分野一望

受講目安

主な対象学年は中1・中2生としますが、この分野をじっくり学びたい中3生以上にも適当です。なお、ルート(累乗根)についての基礎知識を必要とします。

講座内容

関数とは数に数を対応させる規則のことです。定義はこのようにシンプルですが、その分非常に応用が広く、現在の数学では必須の知識といえます。この講座では関数の基礎事項を学習します。第1講では関数とは何かということから始まり、簡単な関数や関数のグラフについて扱います。第2講では、角度に対して長さの比を対応させる関数である三角関数を学びます。三角関数は最も重要な関数の一つであり、これにより図形における長さと角度の関係を非常に簡潔に記述することができます。ここまでで関数の考え方になじんだところで、第3講では関数についての一般的な知識を深めます。グラフの移動に伴う関数の変化の様子や逆関数、偶関数・奇関数といったテーマを一つ一つ理解していきましょう。第4講では、べき乗の概念の一般化である指数関数およびその逆の対応である対数関数について学びます。この講座で扱う関数についての知識は今後の数学学習の大切な土台となるでしょう。

本講座の学習内容と中学・高校での履修時期

本講座の学習内容 中1 中2 中3 高1 高2 高3
関数とグラフ
1次関数・2次関数
三角比・三角関数
正弦定理・余弦定理
指数関数・対数関数

テーマ

第1講 関数とは
第2講 三角関数
第3講 関数とグラフの関係
第4講 指数関数・対数関数

時間割・担当講師

日程

12月25日(水)~12月28日(土)

時間

9:20~12:30

講座コード

M211

講師名

近藤 宏樹

日程

1月4日(土)~1月7日(火)

時間

16:40~19:50

講座コード

M331

講師名

立原 礼也

微分・積分 ~現象解明の夜明け~

分野一望

受講目安

主な対象学年は中3生以上としますが、主体的な学習意欲があれば学年は問いません。なお、三角関数、指数・対数関数についての基礎知識を必要とします。

講座内容

関数を調べるときにはグラフを描くと様子が視覚的に捉えられて便利ですが、1次関数などの簡単な関数や三角関数などのよく知られた関数を除き、グラフを描くのは困難な作業です。そこで登場するのが微分法です。微分は関数の瞬間的な変化率を求める方法であり、グラフでは接線の傾きを求めることに相当します。これを用いることでグラフが右上がりか右下がりか、また上下どちらに出っ張っているかがわかり、さまざまな関数のグラフを要点を押さえて描けるようになるので、具体的な式で与えられた関数を理解する手がかりとなることでしょう。前半の2講では微分の技術を集中して学習し、第3講では微分とグラフの関係を扱います。そして最終講では、微分と並んで大切な手法である積分を学習します。積分は図形の面積を求める方法ですが、実は微分と密接に関連しています。微積分は他分野への応用も広く、自然科学全般を支える道具の一つです。4日間の学習は奥深い数学の世界へ進むための万全な準備となるでしょう。

本講座の学習内容と中学・高校での履修時期

本講座の学習内容 中1 中2 中3 高1 高2 高3
極限
関数の微分
指数・対数・三角関数の微分
関数のグラフと微分
積分

テーマ

第1講 極限・微分
第2講 指数関数・対数関数・三角関数の微分
第3講 微分とグラフ
第4講 積分

時間割・担当講師

日程

12月25日(水)~12月28日(土)

時間

13:00~16:10

講座コード

M221

講師名

小泉 淳之介

ベクトル ~矢印が切り拓く地平~

分野一望

受講目安

主な対象学年は中3生以上としますが、主体的な学習意欲があれば学年は問いません。なお、座標平面、三角関数についての基礎知識を必要とします。

講座内容

この講座で扱うベクトルとは、大きさと向きを持つもので、図形を捉える際に強力な道具となります。講座では、前半の2講で平面のベクトルを扱います。まず、ベクトルの基本的な演算である和とスカラー倍について学んでベクトルに慣れ親しんだ後、内積という演算を導入します。内積を学ぶ過程で、ベクトルが長さや角度を求める際に非常に有効な道具であることがわかるでしょう。後半ではベクトルの概念が空間に拡張され、それにより空間内の図形もベクトルで記述できるようになります。さらに最終講に扱う外積という演算によって、よりさまざまな量が容易に計算できるようになります。このようにベクトルは、さまざまな図形を記述し、長さ、角度、体積といった量を求めることに非常に役に立ちます。この講座を通してベクトルの扱い方を身に着け、図形に対するより深い理解を手に入れてください。

本講座の学習内容と中学・高校での履修時期

本講座の学習内容 中1 中2 中3 高1 高2 高3
平面のベクトル
内積
空間のベクトル
図形の方程式
外積

テーマ

第1講 平面のベクトル
第2講 平面上の図形
第3講 空間のベクトル
第4講 空間内の図形

時間割・担当講師

日程

12月20日(金)~12月23日(月)

時間

14:00~17:10

講座コード

M121

講師名

西本 将樹

数列・場合の数・確率 ~規則性の解明~

発展演習

受講目安

主な対象学年は中3生以上としますが、主体的な学習意欲があれば学年は問いません。なお、文字式の計算、2次方程式についての基礎知識を必要とします。

講座内容

講座の前半2講のテーマは数列です。数列とは文字通り数が並んだもので、それらの和を求める方法や、隣接する数の間の規則から数列全体の様子を調べる方法を考えていきます。これらの問題は一見複雑なものでも、いくつかの基本的なパターンを身に着ければ対処できることがほとんどですので、それらのパターンを一つずつ理解していきましょう。第3講ではある条件を満たすものの個数を数える方法について学びます。ものの個数を数えるのは一見とても簡単な作業ですが、素早く正確に行うには工夫が必要です。授業では、順列・組合せの考え方とともに、前半で学んだ数列の知識を応用する手法も学びます。第4講では確率について学びますが、そこでも数列の手法が活躍します。数え上げ、確率には多くの身近な問題があります。それらの問題に数列を用いた新しいアプローチで迫っていきましょう。

テーマ

第1講 数列
第2講 漸化式
第3講 集合と数え上げ
第4講 確率

時間割・担当講師

日程

12月25日(水)~12月28日(土)

時間

13:00~16:10

講座コード

M222

講師名

松浦 慎太朗

座標幾何 ~式が定める幾何~

発展演習

受講目安

主な対象学年は高1生以上としますが、主体的な学習意欲があれば学年は問いません。なお、直線・円の方程式、三角関数についての基礎知識を必要とします。

講座内容

座標幾何の醍醐味としては、初等幾何の問題としてみると巧妙なアイデアを必要とする問題も、機械的な計算で解けてしまうこと、さまざまな方程式・不等式を考えることで多種多様な図形が得られ、幾何の世界が広がることの二つが挙げられるでしょう。しかし、これらの魅力を十分に理解するには、複雑な処理をこなせる計算力や、方程式を正確に同値変形するなどの論証力が必要です。この講座では、多くの例題や演習問題を通してこういった力を培いながら、座標幾何を身に着けていきます。第1講では、平行移動・回転移動によって図形を表す方程式がどう変化するか求めたり、不等式によって表される図形を考えたりします。第2講で扱う「軌跡」は高校数学の山場の一つであり、論証力を試す格好の機会です。第3講以降では、初等幾何ではあまりなじみのない2次曲線を扱い、幾何の広がりを感じてもらいます。計算力や論証力を鍛えながら、座標幾何の考え方をしっかりと身に着けていきましょう。

テーマ

第1講 図形の移動・領域
第2講 軌跡
第3講 2次曲線(1)
第4講 2次曲線(2)

時間割・担当講師

日程

12月20日(金)~12月23日(月)

時間

17:30~20:40

講座コード

M132

講師名

星野 真生

ベクトル・行列 ~線形性の追求~

発展演習

受講目安

主な対象学年は高1生以上としますが、主体的な学習意欲があれば学年は問いません。なお、座標平面、三角関数についての基礎知識を必要とします。

講座内容

この講座のテーマはベクトルと行列です。ベクトルとは、平面・空間内の矢印に対して和とスカラー倍という演算を定めたものです。さらに内積・外積という演算を考えることで距離や角度を記述することができます。これらの演算を使うと、ベクトルによって図形を代数的に扱うことができます。第1講では平面上の、第2講では空間内のベクトルを扱い、第3講では行列を学びます。行列は数を長方形状に並べたものであり、数であるかのように加法と乗法を行うことができます。授業では、行列の演算や、連立方程式の行列による解法を学びます。ベクトルと行列は一見関係のないもののように見えますが、第4講で一次変換を学ぶことで、両者には深いつながりがあることを理解してもらいます。4日間の学習を通して、ベクトルと行列について総合的な理解を得ることができるでしょう。

※「ベクトル」(講座コード:M121)に比べ、より高度な問題に取り組みます。

テーマ

第1講 平面ベクトル
第2講 空間ベクトル
第3講 行列
第4講 一次変換

時間割・担当講師

日程

1月4日(土)~1月7日(火)

時間

16:40~19:50

講座コード

M332

講師名

三神 雄太郎

整数論2 ~数の神秘の扉を開く~

数学の楽しさ

受講目安

主な対象学年は指定しません。興味のある方であればどなたでもご受講いただけますが、文字式の計算、ルートの計算についての基礎知識を必要とします。

講座内容

整数論の特徴は、誰にでもわかる問題設定から出発して、非常に高度な理論が展開されていくところにあります。今回の講座では、「x2-2y2=1」(*1)「x2+y2=200」(*2)などの方程式の解を整数の範囲で求めるという問題から始めていきます。このような方程式では、一見すると手作業で地道に解を調べ上げるしか方法はなさそうですし、解の様子も一見かなり不規則に思えるでしょう。しかし、√2(*3)などの無理数をも対象とした「2次体の整数論」を考えると、このような方程式の解の様子を鮮明に捉えることができるのです。講座の後半には、上に挙げたような方程式の解を皆さん自身の手で分析できるようになります。最初は複雑に思えた問題が、理論を構築して高い視点に立つと見事に整理されるという数学の醍醐味を、ぜひ体感してください。

※この講座は、夏期集中講座「整数論1」を受講されていない方にも十分理解できる内容です。

*1…x2-2y2=1 *2…x2+y2=200 *3…√2 *1…x2-2y2=1 *2…x2+y2=200 *3…√2

テーマ

第1講 Pell 方程式と無理数の整数論
第2講 方程式x2+y2=n(*4)
第3講 UFD の整数論
第4講 素イデアル分解

*4…x2+y2=n *4…x2+y2=n

時間割・担当講師

日程

1月4日(土)~1月7日(火)

時間

13:00~16:10

講座コード

M322

講師名

桝澤 海斗

双曲幾何学入門 ~非ユークリッド幾何学への招待~

数学の楽しさ

受講目安

主な対象学年は指定しません。興味のある方であればどなたでもご受講いただけますが、初等幾何、文字式の計算についての基礎知識を必要とします。

講座内容

私たちが最初に学ぶ幾何学である初等幾何は、古代ギリシャの数学者ユークリッドが著した『原論』にその源を発すると言われています(それゆえ「ユークリッド幾何学」とも呼ばれています)。『原論』は、わずかな数の自明と思われる命題“公理”から出発し、残りの結果をすべてそこから純粋な推論のみによって導いてゆくという、数学的思考法のモデルとも言える形式で書かれており、長い年月、世界中で読まれてきました。
『原論』では、幾何学を展開するうえでの公理が5つ挙げられていますが、「平行線公理」と呼ばれる5つ目の公理は、他の4つと比べて極端に複雑な見た目であったため、他の公理から導ける「定理」なのではないか、と予想されていました。ユークリッド以降数多くの数学者がこの予想に取り組みましたが、19世紀、ロバチェフスキーとボヤイという2人の数学者が、他の4つの公理は成り立つが平行線公理のみ成り立たないような幾何学の体系を独立に発見し、予想は否定的に解決されます。この時発見された幾何学が、現在「双曲幾何学」と呼ばれているものです。
この講座では、歴史的な流れを踏まえながら、双曲幾何学を公理的に導入し、さまざまな性質を調べていきます。
現れる結果は、「三角形の内角の和は180°より小さい」など直観に反するものが多いですが、証明は皆さんが学んでいる初等幾何と同様に行うことができます。普段触れている幾何とはひと味もふた味も違う双曲幾何学の世界をぜひ体験してみてください。

テーマ

第1講 ユークリッド幾何学の公理的展開
第2講 双曲幾何学
第3講 ポアンカレモデル
第4講 諸定理

時間割・担当講師

日程

12月25日(水)~12月28日(土)

時間

9:20~12:30

講座コード

M212

講師名

布施 音人

方程式論 ~方程式の奥にある豊かな世界~

数学の楽しさ

受講目安

主な対象学年は中2生以上としますが、主体的な学習意欲があれば学年は問いません。なお、文字式の計算、集合についての基礎知識を必要とします。

講座内容

2次方程式の解はその係数を用いて具体的に書き表すことができます。では、同様に3次以上の方程式にも「解の公式」は存在するのでしょうか。実は、3次・4次方程式には解の公式が存在し、5次以上の方程式には解の公式が存在しないことが知られています。しかし、2次方程式のときのように簡単な式変形を繰り返すだけでは、これらの結果に到達するのは困難です。この講座では、3次・4次方程式の解の公式を導くことを目標に、方程式が解ける仕組みを数学的に解明していきます。方程式が解けることを体の拡大という言葉で定式化し、その様子を体の持つ対称性に注目して調べていくと、3次・4次方程式の解の公式は自然に導かれるのです。また、これらの考察により、5次以上の方程式には解の公式が存在しない理由についても完全ではありませんが説明を与えることができます。多くの数学者たちによって生み出された洗練された理論の美しさ・強力さをこの講座を通して体感してください。

テーマ

第1講 置換群と対称式
第2講 解の公式と体の拡大
第3講 冪根拡大と体の対称性
第4講 方程式と解の公式

時間割・担当講師

日程

1月4日(土)~1月7日(火)

時間

16:40~19:50

講座コード

M333

講師名

西本 将樹

フラクタル入門 ~複雑な図形の美しい理論~

数学の楽しさ 現代数学

受講目安

K会レギュラー講座「Xコース(MⅢ~MⅤ)」受講生専用の講座です。会員以外で受講をご希望の方はご相談ください。

講座内容

直線や円などの図形は、水平線や天体などの自然界の構造物の「かたち」を近似することによって得られると考えることができます。下の図のような、木の葉に張り巡らされた葉脈や、海岸線の凹凸などの持つ複雑性を近似するように定義された図形は、フラクタルと呼ばれるクラスに属します。このような図形を他の図形から際立たせている性質として、構成要素となっている単純な図形の次元よりも全体として高い次元を持つというものがあります。ここでの「全体としての次元」とはHausdorff次元と呼ばれるものです。たとえば葉脈を例に挙げると、局所的には管なので1次元の構造物ですが、全体としては葉という2次元の空間の中でいくらかの広がりを持っているため、Hausdorff次元は1より大きな値になります。この講座ではHausdorff次元を定義し、さまざまな例を見ます。目新しい図形の観察や次元という概念の意味を考える機会など、楽しめるところがたくさんある講座です。

フラクタルイラスト

テーマ

第1講 Hausdorff外測度とHausdorff次元
第2講 位相次元とフラクタル
第3講 自己相似集合
第4講 諸例

時間割・担当講師

K会レギュラー講座「Xコース(MⅢ~MⅤ)」受講生専用の講座です。会員以外で受講をご希望の方はご相談ください。

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