数学講座案内 講座案内・時間割 | Ｋ会 夏期講習

興味のある中高生の方であればどなたでもご受講いただけます。

数は数学のあらゆる場面で登場します。したがって、数について理解すること、数の計算ができることは数学を学ぶうえでとても大切です。また数はそれ自体が興味深い数学のテーマでもあります。本講座を通していろいろな数の計算規則や性質を知り、数のさまざまな側面を学んでいきましょう。たとえばルートの計算には、今後数学を学ぶうえで重要な技術が詰まっています。ぜひ本講座で習熟してください。またルートの発展として、複素数という数も登場します。この数の計算規則はルートと似ていますが、計算が図形的に解釈できるという性質をもっています。複素数を知ることで数と図形という二つの分野が交わるおもしろさを体感できることでしょう。さらに最後には、行列について学びます。これはかける順番を変えると計算結果が変わってしまう、今まで触れてきた数とは異なる性質をもっています。数という身近なものを通して数学の魅力を再発見していきましょう。

第1講　実数と四則演算
第2講　ルート
第3講　複素数
第4講　行列

興味のある中高生の方であればどなたでもご受講いただけます。

初等幾何は、紀元前から古代ギリシャで研究されていた歴史ある分野であり、現代にいたる数学の出発点とも言えます。いくつかの基本的性質から始めて図形の性質を次々と証明していく初等幾何の議論の進め方は、すべての数学の模範となってきた重要なものです。本講座は、素朴な平面図形を題材に証明を書くことからはじめます。合同と相似は、別のものであっても共通する性質をもつものは同じものとみなすという、数学特有のものの見方です。より本質的な性質にのみ注目し、異なる対象に共通の性質を発見する良い練習になるでしょう。ピタゴラスの定理は、直角三角形の辺の長さに関する定理です。この定理は、三角形の様々な量を計算するための道具になるほか、図形を代数的に扱う「座標平面」において基礎となる重要なものです。また、本講座の最後には、円に関するいくつかの定理も学びます。これらの学習を通して、曲線が成す図形の裏に潜む豊富な性質について理解を深めていきましょう。

第1講　合同
第2講　相似
第3講　直角三角形とピタゴラスの定理
第4講　円

数列、漸化式、指数・対数、三角関数についての基礎知識を必要とします。

第1講　数列の極限（1）
第2講　数列の極限（2）
第3講　関数の極限（1）
第4講　関数の極限（2）

文字式の計算、2次方程式、三角関数についての基礎知識を必要とします。

座標の考え方は、数式を用いて図形を代数的に扱う手段として導入されました。複雑な図形も機械的な計算で扱うことができ、また空間への拡張も容易になることが利点です。いくつか具体例を挙げましょう。座標幾何を用いると、線分を与えられた比に分割する点を簡単な計算で求めることができます。このことを用いれば、三角形の３つの中線が１点で交わることをだれでも簡単に計算で示すことができるのです。あるいは点A, Bが与えられたとき、AP+BP=1となるような点P全体を考えてみましょう。円などの単純な図形とは異なるため、初等幾何的な方法で取り組むのは難しそうです。しかし、座標幾何ではこのような図形を表す方程式を考えることで、ずっと楽に扱えるようになります。このように初等幾何では扱いにくいものでも、計算をするだけで性質を明らかにできることが座標幾何の魅力です。初等幾何の世界から座標幾何の世界へ旅立つことで、幅広い幾何学観を自分のものにしましょう。

第1講　座標平面
第2講　座標平面上の図形
第3講　円錐曲線
第4講　座標空間

興味のある中高生の方であればどなたでもご受講いただけます。

平方数1, 4, 9, 16, 25,……を11で割ったときの余りを書き出してみると、0, 1, 3, 4, 5, 9の6つしか現れないことが観察できます。このように平方数を自然数nで割ったときの余りのことを「nを法とする平方剰余」と呼びます。平方剰余は一見するとバラバラな数の並びに見えますが、実はいろいろな規則性が隠れていることが知られています。本講座では整数論の中でも特に「整数を自然数で割ったときの余り」について詳しく探求し、最終的には19世紀の数学者ガウスによる「平方剰余の相互法則」を証明します。これは3 以上の素数pとqに対して、「pがqを法とする平方剰余かどうか」と「qがpを法とする平方剰余かどうか」の間に関係があるという驚くべき定理です。だれもが知っている整数の加減乗除を出発点として一つひとつ論理を積み重ねていき、この深遠な定理に辿り着くまでの道のりを一緒に楽しんでいきましょう。

第1講　素数と素因数分解
第2講　合同方程式と中国剰余定理
第3講　フェルマーの小定理と原始根
第4講　平方剰余の相互法則

文字式の計算についての基礎知識を必要とします。

いくつかの点、およびそれらを結ぶいくつかの線からなる図形は、グラフと呼ばれます。グラフは一見単純な概念ですが、人間関係・移動経路・ネットワークといった、身近な概念の多くを簡潔に表すことができるため、現在でもさまざまな問題が考えられ、盛んに研究されています。たとえば、「どの線も同じ色の2点を結ばないように、与えられたグラフの各点を塗り分けるためには少なくとも何種類の色が必要か？」と考えてみましょう。グラフ理論では、このような素朴な問いが、さまざまな美しい定理を生み出していきます。また、簡単な図を描きながら学べる親しみやすさも特徴です。一つひとつの用語や定理の証明を、図を描いてイメージしながら、グラフに関するさまざまなテーマを楽しんでいきましょう。

第1講　Euler 回路とHamilton サイクル
第2講　マッチング
第3講　グラフの彩色
第4講　ネットワークとフロー

展開や因数分解、方程式、座標平面上の図形の取り扱いに慣れていることを前提とします。

第1講　代数曲線と射影平面
第2講　楕円曲線の加法
第3講　Mordell の定理（1）
第4講　Mordell の定理（2）

中学数学について一通り理解している方を対象とします。なお、問題は本選や国際大会で出題されるようなレベルのものを扱います。

皆さんは数学オリンピックの問題を見たことがありますか？ 数学オリンピックの問題は普段学校で扱う数学の問題とは一味違い、深い思考力が必要とされ、慣れていないととっつきにくいものが多いように思われます。本講座では、数学オリンピックの本選や国際大会に出題されるような証明問題への取り組み方を、国際数学オリンピックのメダリストでもあるＫ会の講師がその経験を活かしながら丁寧に解説します。問題の考え方、解き方を解説し、必要に応じてよく使う知識や手法についても説明します。本講座を受講して実際に数学オリンピックに参加してみるのもよいでしょう。また、数学オリンピックの問題に触れることによって、学校で習う数学とは違ったおもしろさを感じることもできるでしょう。数学オリンピックの問題に挑戦することによって思考力を伸ばし、今後の数学学習に大いに役立ててください。

第1講　幾何分野の問題（１）
第2講　幾何分野の問題（２）
第3講　代数分野の問題（１）
第4講　代数分野の問題（２）

中学英語について一通り理解している方を対象とします。

「数学は世界共通の言語」とよく言われます。しかし、数学オリンピックの問題や大学レベルの専門書などの高度な内容を学ぼうとすると、英語で書かれた資料に当たる必要が出てきます。さらに、自分の数学的なアイデアを世界へ向けて発信しようとすると、ここでも英語で論文を発表したり、考えを述べたりすることが重要になります。「共通の言語」とは言われるものの、より高度な数学の世界に踏み込むためには英語の力が欠かせないのです。そこで本講座では、「数学は好きだけど英語は苦手」「英語は得意だけど数学の英文を読むのは難しい」と感じる中高生を対象に、英語を使って数学を学ぶ力を丁寧に養います。具体的には、第1講では学術的な英文の基礎（アカデミック・ライティング）を学び、第2講では日常的な英文の和訳、第3講では数学的な英文の和訳、第4講では和文英訳を実践し、総合的な英語力を身に付けていきます。また、必要に応じてChatGPTなどの大規模言語モデル（いわゆるAI）を活用して、数学の英文を効率よく読み解いたり、自分の考えを英語で表現したりする方法も考えていきます。本講座を通して数学と英語の壁を乗り越え、世界へつながる新たな一歩を踏み出してみませんか。

第1講　アカデミック・ライティング
第2講　英文和訳（日常的な文章）
第3講　英文和訳（数学的な文章）
第4講　和文英訳

興味のある中高生の方であればどなたでもご受講いただけます。

「言語とは何か？」という深遠な問いは、数千年にわたってさまざまな議論が交わされてきました。その中で特に注目に値するのが20世紀に主に情報科学の分野で花開いた形式言語理論です。 形式言語理論は、 言語構造を形式文法と呼ばれる数学的モデルに基づいて研究する理論であり、1950年代のノーム・チョムスキーによる生成文法の研究に端を発します。生成文法の1つである正則言語（第2講）の研究は、ソフトウェアで幅広く使われている正則表現（＝正規表現）という文字列表現の解析の基礎になっています。また、生成文法の中の文脈自由文法（第3・4講）に関する研究から、コンパイラ設計における構文解析の手法が考案されました。形式言語理論は、このようにプログラミング言語のような人工言語の解析に重要な役割を果たしているだけでなく、オートマトン（第1講）という計算モデルを通して「計算とは何か？」という重要な問いにも深くつながっています。本講座では、単に理論展開を説明するだけでなく、情報処理技術者試験や大学院入試問題などの具体的な演習問題に取り組むことで、手を動かしながら形式言語理論の奥深さを実感していただきます。

第1講　有限オートマトン
第2講　正則言語
第3講　文脈自由文法
第4講　文脈自由言語