数学講座案内 講座案内・時間割 | Ｋ会 夏期講習

中高生の方であればどなたでもご受講いただけます。

数は数学のあらゆる場面で登場します。したがって、数について理解すること、数の計算ができることは数学を学ぶうえでとても大切です。また数はそれ自体が興味深い数学のテーマでもあります。本講座を通していろいろな数の計算規則や性質を知り、数のさまざまな側面を学んでいきましょう。たとえばルートの計算には、今後数学を学ぶうえで重要な技術が詰まっています。ぜひ本講座で習熟してください。またルートの発展として、複素数という数も登場します。この数の計算規則はルートと似ていますが、計算が図形的に解釈できるという性質をもっています。複素数を知ることで数と図形という二つの分野が交わるおもしろさを体感できることでしょう。さらに最後には、行列について学びます。これはかける順番を変えると計算結果が変わってしまう、今まで触れてきた数とは異なる性質をもっています。数という身近なものを通して数学の魅力を再発見していきましょう。

第1講　実数と四則演算
第2講　ルート
第3講　複素数
第4講　行列

中高生の方であればどなたでもご受講いただけます。

初等幾何は、紀元前から古代ギリシャで研究されていた歴史ある分野であり、現代にいたる数学の出発点とも言えます。いくつかの基本的性質から始めて図形の性質を次々と証明していく初等幾何の議論の進め方は、すべての数学の模範となってきた重要なものです。本講座は、素朴な平面図形を題材に証明を書くことからはじめます。合同と相似は、別のものであっても共通する性質をもつものは同じものとみなすという、数学特有のものの見方です。より本質的な性質にのみ注目し、異なる対象に共通の性質を発見する良い練習になるでしょう。ピタゴラスの定理は、直角三角形の辺の長さに関する定理です。この定理は、三角形のさまざまな量を計算するための道具になるほか、図形を代数的に扱う「座標平面」において基礎となる重要なものです。また、本講座の最後には、円に関するいくつかの定理も学びます。これらの学習を通して、曲線が成す図形の裏に潜む豊富な性質について理解を深めていきましょう。

第1講　合同
第2講　相似
第3講　直角三角形とピタゴラスの定理
第4講　円

数列、漸化式、指数・対数、三角関数についての基礎知識を必要とします。

第1講　数列の極限（1）
第2講　数列の極限（2）
第3講　関数の極限（1）
第4講　関数の極限（2）

文字式の計算、2次方程式、三角関数についての基礎知識を必要とします。

座標の考え方は、数式を用いて図形を代数的に扱う手段として導入されました。複雑な図形も機械的な計算で扱うことができ、また空間への拡張も容易になることが利点です。いくつか具体例を挙げましょう。座標幾何を用いると、線分を与えられた比に分割する点を簡単な計算で求めることができます。このことを用いれば、三角形の3つの中線が1点で交わることをだれでも簡単に計算で示すことができるのです。あるいは点A, Bが与えられたとき、AP＋BP＝1となるような点P全体を考えてみましょう。円などの単純な図形とは異なるため、初等幾何的な方法で取り組むのは難しそうです。しかし、座標幾何ではこのような図形を表す方程式を考えることで、ずっと楽に扱えるようになります。このように初等幾何では扱いにくいものでも、計算をするだけで性質を明らかにできることが座標幾何の魅力です。初等幾何の世界から座標幾何の世界へ旅立つことで、幅広い幾何学観を自分のものにしましょう。

第1講　座標平面
第2講　座標平面上の図形
第3講　円錐曲線
第4講　座標空間

中高生の方であればどなたでもご受講いただけます。

平方数1, 4, 9, 16, 25,……を11で割ったときの余りを書き出してみると、0, 1, 3, 4, 5, 9の6つしか現れないことが観察できます。このように平方数を自然数nで割ったときの余りのことを「nを法とする平方剰余」と呼びます。平方剰余は一見するとバラバラな数の並びに見えますが、実はいろいろな規則性が隠れていることが知られています。本講座では整数論の中でも特に「整数を自然数で割ったときの余り」について詳しく探求し、最終的には19世紀の数学者ガウスによる「平方剰余の相互法則」を証明します。これは3以上の素数pとqに対して、「pがqを法とする平方剰余かどうか」と「qがpを法とする平方剰余かどうか」の間に関係があるという驚くべき定理です。だれもが知っている整数の加減乗除を出発点として一つひとつ論理を積み重ねていき、この深遠な定理に辿り着くまでの道のりを一緒に楽しんでいきましょう。

第1講　素数と素因数分解
第2講　合同方程式と中国剰余定理
第3講　フェルマーの小定理と原始根
第4講　平方剰余の相互法則

ルート、文字式の計算についての基礎知識を必要とします。

1，1から始まり、第3項以降の各項は直前の2項の和になっている数列をフィボナッチ数列と呼びます。始めの何項かは1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…です。ここに現れる数をフィボナッチ数と呼びます。フィボナッチ数は非常に初等的ながらそのシンプルさから多くの人々の興味の対象になっており、さまざまな公式や数論的性質が知られています。第1講では、素朴な問題にフィボナッチ数列が現れることを確認し、そのことを利用してフィボナッチ数に関するさまざまな等式を導きます。また、n番目のフィボナッチ数をnを用いて表す、ビネの公式と呼ばれる公式が存在することを紹介します。第2講では、フィボナッチ数の数論的性質にスポットライトを当てます。たとえば、第3項，第6項，第9項，第12項，…が2の倍数、第4項，第8項，第12項，…が3の倍数など、ある数の倍数が周期的に現れることを証明します。さらに、なんとフィボナッチ数列に現れる平方数をすべて求めることができます。フィボナッチ数というピンポイントな話題をぜひ一緒に掘り下げてみませんか？

第1講　フィボナッチ数と多項式
第2講　フィボナッチ数と整数論

文字式の計算についての基礎知識を必要とします。

第1講　結び目理論とは
第2講　変形と不変量
第3講　ジョーンズ多項式
第4講　素な結び目への分解

中学数学について一通り理解している方を対象とします。

この講座では、一般に離散幾何学と呼ばれる分野に関する話題を紹介します。離散幾何学とは、主に点、直線、円、多角形といった基本的な図形からなる有限または離散的な集合についての「組合せ論的な」性質を調べる学問です。この組合せ論的な性質というのは、長さや角度などの性質ではなく、たとえば複数の図形がどのように交わっているか、ある距離だけ離れた図形の組がいくつあるか、などの性質のことを指しています。これだけではイメージがわきにくいと思うので具体的な問題例を見てみましょう。
・凸七角形1種類で平面を敷き詰められるか？
・平面上にn個の点を描くとき、その間の相異なる距離の数は最小で何通りか？前者のような「平面充填」に関する問題はシンプルで、馴染みがあるかもしれません。このような問題については、多角形の頂点、辺をグラフとみなすアプローチにより、7以上の整数nに対して、凸n角形一種類で平面を敷き詰められないという非常におもしろい結果が得られます。また後者の問題は複雑で、ある程度よい評価を与えるためには組合せ論的なアイデアが必要となります。離散幾何学のような分野は現代の他分野の数学とは雰囲気が大きく異なりますが、現代数学と違い、離散幾何学の問題は扱う対象がわかりやすいため取り組みやすいというのが大きな魅力です。今回の講座では、話題を視覚的に理解しやすい平面内に限定し、その中でおもしろく初等的に扱うことができる話題を紹介したいと思います。普段とは少し違った雰囲気の数学に触れることで数学のおもしろさを再発見していきましょう。

第1講　凸集合の交わり
第2講　Minkowskiの定理
第3講　凸多角形の平面充填
第4講　Szemeredi-Trotterの定理

集合についての基礎知識を必要とします。

正多角形の回転やあみだくじの合成、方程式の解の入れ替えなど、一見まったく違って見える現象にも、「操作を続けて行える」「何もしない操作がある」「元に戻せる」という共通の仕組みがあります。本講座では、この共通部分を取り出した「群」という考え方を学びます。第1講では、群と部分群という基本概念に親しみ、具体例を通して、複雑な現象の中にも共通した構造が潜んでいることを見ていきます。第2講では、有限個の元からなる群の構造が、位数と呼ばれる数とどのように結びついているかを考えます。第3講では、群を「別の集合を動かすもの」として見る群作用の考え方を導入し、軌道や共役といった概念を通して、群の構造を数え上げと結びつける見方を学びます。第4講では、そこで得た道具をもとにSylowの定理にふれ、素因数分解の情報から有限群の姿が強く制限されることを学びます。わずかなルールから出発して豊かな構造が浮かび上がってくる過程を通して、群論の見方の鋭さとおもしろさを実感できるでしょう。

第1講　群と部分群
第2講　剰余類と剰余群
第3講　群作用と数え上げ
第4講　Sylowの定理

Ｋ会レギュラー講座「現代数学基礎」を修了された方を対象とします。
Ｋ会生以外の方で受講を希望される場合はＫ会事務局へお問い合わせください。

第1講　保型形式の定義と例
第2講　保型形式の空間の次元
第3講　L関数
第4講　Hecke作用素とEuler積

中学数学について一通り理解している方を対象とします。なお、問題は本選や国際大会で出題されるようなレベルのものを扱います。

皆さんは数学オリンピックの問題を見たことがありますか？数学オリンピックの問題は普段学校で扱う数学の問題とは一味違い、深い思考力が必要とされ、慣れていないととっつきにくいものが多いように思われます。この講座では、数学オリンピックの本選や国際大会に出題されるような証明問題への取り組み方を、国際数学オリンピックのメダリストでもあるＫ会の講師がその経験を活かしながら丁寧に解説します。問題の考え方、解き方を解説し、必要に応じてよく使う知識や手法についても説明します。この講座を受講して実際に数学オリンピックに参加してみるのもよいでしょう。また、数学オリンピックの問題に触れることによって、学校で習う数学とは違ったおもしろさを感じることもできるでしょう。数学オリンピックの問題に挑戦することによって思考力を伸ばし、今後の数学学習に大いに役立ててください。

第1講　代数分野の問題（1）
第2講　代数分野の問題（2）
第3講　幾何分野の問題（1）
第4講　幾何分野の問題（2）