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数学講座案内 講座案内・時間割 | K会 夏期集中講座

各講座の詳しい内容をご紹介します。

K会の教室窓口ではテキストもご覧いただけます。講座選択にあたってご参考になさってください。

数 ~新しい数との出会い~

分野一望

受講目安

主な対象学年は中1生・中2生としますが、この分野の基本を学び、理解を深めたい中3生以上にも適当です。予備知識は必要ありません。

講座内容

数は数学のあらゆる場面で登場します。したがって、数について理解すること、数の計算ができることは数学を学ぶうえでとても大切です。また数はそれ自体が興味深い数学のテーマでもあります。この講座を通して数のさまざまな側面を学んでいきましょう。講座の最初には小数で書ける実数とその四則演算を確認し、負の数やべき乗の計算を学びます。また、分数の性質についても考えてもらいます。次にルートという記号を導入し、その性質や関連する計算技術を扱います。実数だけを考えているとルートという概念は不十分な部分もありますが、この問題を複素数まで数を広げることで解決します。複素数は人工的に作られた数だと感じるかもしれませんが、計算規則に慣れたり、幾何的な視点を加えることでその妥当性が納得できることでしょう。最後に、新たなタイプの数として行列を扱います。第3講までに学んだ数との相違点を感じるのが狙いです。数という身近なものを通して数学が見せるさまざまな魅力を味わってください。

本講座の学習内容と中学・高校での履修時期

本講座の学習内容 中1 中2 中3 高1 高2 高3
実数
集合
ルート
複素数
行列

テーマ

第1講 実数と四則演算
第2講 ルート
第3講 複素数
第4講 行列

時間割・担当講師

日程

8月11日(火)~8月14日(金)

時間

16:40~19:50

講座コード

M231

講師名

桝澤 海斗

日程

8月18日(火)~8月21日(金)

時間

13:00~16:10

講座コード

M321

講師名

西本 将樹

初等幾何 ~図形にひそむ法則~

分野一望

受講目安

主な対象学年は中1生・中2生としますが、この分野の基本を学び、理解を深めたい中3生以上にも適当です。予備知識は必要ありません。

講座内容

初等幾何は、紀元前から古代ギリシャで研究されていた歴史ある分野であり、現代にいたる数学の出発点とも言えます。いくつかの基本的性質から始めて図形の性質を次々と証明していく初等幾何の議論の進め方は、すべての数学の模範となってきた重要なものであるとともに、それだけで鑑賞に堪え得る芸術品とも言えます。この講座では、図形の性質を学ぶと同時に、証明という論理的なプロセスを通して数学の考え方も学びとってもらいます。第1講、第2講では三角形の合同・相似条件とそれを用いた証明の方法を学びます。ここでの内容が後半の内容の基礎となりますので、一つ一つ丁寧に理解していきましょう。第3講では直角三角形の性質を学びます。辺の長さについての三平方の定理を理解するのが目標となります。第4講では円周角の定理を始めとした円の種々の性質を学びます。古代から多くの人々を魅了してきた図形にひそむ法則を、楽しみながらしっかりと理解し自分のものにしていきましょう。

本講座の学習内容と中学・高校での履修時期

本講座の学習内容 中1 中2 中3 高1 高2 高3
合同
相似
三平方の定理

テーマ

第1講 合同
第2講 相似
第3講 直角三角形と三平方の定理
第4講 円

時間割・担当講師

日程

8月4日(火)~8月7日(金)

時間

17:50~21:00

講座コード

M131

講師名

近藤 宏樹

日程

8月11日(火)~8月14日(金)

時間

13:00~16:10

講座コード

M221

講師名

吉重 元

極限 ~無限に挑む~

分野一望

受講目安

主な対象学年は中3生以上としますが、主体的な学習意欲があれば学年は問いません。なお、数列、漸化式、指数・対数、三角関数についての基礎知識を必要とします。

講座内容

極限とは、「ある値に限りなく近づく」ことを表す概念で、数列に対してはどんどん先の項に進んでいったときの極限が、関数に対しては変数をある値に近づけていったときの極限が考えられます。極限を考えることで、多項式・指数・対数などの基本的な関数について一層深い理解が得られますし、より一般の数列や関数についても有効な情報が得られる場合が多くあります。極限は関数や数列の大まかな様子を近似して捉えたものなので、その計算には、数列のある項や関数のある点での具体的な値を求めるのとはまた違った考え方や手法が必要となります。この講座で多くの具体例に触れることで、徐々に極限の計算に慣れていきましょう。また、関数を分析する強力な道具である微積分においても、区間を無限に細かくした状態や瞬間的な変化を捉える際に極限の考え方が必要となります。微積分の学習は来学期以降になりますが、その準備としても、この講座で極限の考え方や計算方法に習熟してください。

本講座の学習内容と中学・高校での履修時期

本講座の学習内容 中1 中2 中3 高1 高2 高3
数列・関数の極限
漸化式で定まる数列の極限
無限級数
連続関数
指数・対数・三角関数の極限

テーマ

第1講 数列の極限(1)
第2講 数列の極限(2)
第3講 関数の極限(1)
第4講 関数の極限(2)

時間割・担当講師

日程

8月18日(火)~8月21日(金)

時間

16:40~19:50

講座コード

M331

講師名

吉重 元

座標幾何 ~方程式が照らす図形~

分野一望

受講目安

主な対象学年は中3生以上としますが、主体的な学習意欲があれば学年は問いません。なお、文字式の計算、2次方程式、三角関数についての基礎知識を必要とします。

講座内容

座標の考え方は、数式を用いて平面上の図形を代数的に扱う手段として導入されました。座標幾何は、複雑な図形も機械的な計算で扱うことができ、さらに空間への拡張も容易であるという、初等幾何よりも優れた点を持ちます。この講座では、まず最初の2日間で座標平面の基礎的事項を概観し、初等幾何で扱った図形である直線や円の方程式について学習します。そして第3講では、円錐の切り口として現れる3種の曲線(楕円・双曲線・放物線)について学びます。これらは初等幾何学的に定義されたものですが、座標を用いることで、難解な幾何学的考察なしに単純計算によってその性質を調べることができます。最終日には、座標平面の概念を自然に拡張した座標空間を学びます。初等幾何学的な立場では、平面図形と空間図形の扱いやすさは随分と違いますが、座標で見ればこれらは数の2つ組が3つ組に変わっただけで本質的な違いはありません。初等幾何の世界から座標幾何の世界へ旅立つことで、幅広い幾何学観を自分のものにしましょう。

本講座の学習内容と中学・高校での履修時期

本講座の学習内容 中1 中2 中3 高1 高2 高3
座標平面
図形の方程式
図形の移動
円錐曲線
座標空間

テーマ

第1講 座標平面
第2講 座標平面上の図形
第3講 円錐曲線
第4講 座標空間

時間割・担当講師

日程

8月11日(火)~8月14日(金)

時間

16:40~19:50

講座コード

M232

講師名

小泉 淳之介

整数論1 ~数の神秘に迫る~

テーマ探求

受講目安

主な対象学年は指定しません。興味のある方であればどなたでもご受講いただけます。予備知識も必要ありません。

講座内容

整数論とはその名の通り、整数というある意味では最も基本的な数を研究する分野です。整数が研究対象なので、小学生でも意味がわかるようなわかりやすい問題も多いのですが、その見た目の易しさとは裏腹に、今でも未解決の問題が多くあります。また、整数論の研究には代数学・解析学・幾何学などあらゆる分野が用いられており、純粋数学の精華ともいえる実に奥深い分野です。一見すると単純な問題が、高度な概念を次々と応用しながら整理されていく様子はまさに整数論の醍醐味と言えるものでしょう。この講座では、初等整数論のレベルでその魅力を最大限伝えようと思います。具体的には、誰でも知っている整数の加減乗除だけを使って、19世紀数学の最も深い結果の一つである、ガウスによる「平方剰余の相互法則」の証明までを扱います。自分で手を動かしながら現象のおもしろさに出会い、整数論の広大さ、美しさの一端を感じとれる4日間になるでしょう。

テーマ

第1講 素数と素因数分解
第2講 合同方程式と中国剰余定理
第3講 フェルマーの小定理と原始根
第4講 平方剰余の相互法則

時間割・担当講師

日程

8月11日(火)~8月14日(金)

時間

16:40~19:50

講座コード

M233

講師名

近藤 宏樹

フィボナッチ数 ~数から広がる世界~

2講完結 テーマ探求

※この講座は録画配信も行います。
※ライブ配信ではなく授業を録画したものとなります。
※受講料は対面授業と同一料金です。
※詳しくはお問い合わせください

受講目安

主な対象学年は指定しません。興味のある方であればどなたでもご受講いただけます。なお、ルート、文字式の計算についての基礎知識を必要とします

講座内容

1,1から始まり、第3項以降の各項は直前の2項の和になっている数列をフィボナッチ数列と呼びます。始めの何項かは1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…です。ここに現れる数をフィボナッチ数と呼びます。フィボナッチ数は非常に初等的ながらそのシンプルさから多くの人々の興味の対象になっており、さまざまな公式や数論的性質が知られています。
第1講では、階段の上り方の総数などフィボナッチ数の現れるモデルを用いてさまざまな等式を導きます。一方、ビネの公式と呼ばれるフィボナッチ数列の一般項を表す公式を導き、それを用いて先ほどの等式の別証明なども与えます。1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,…というリュカ数列との間に成り立つ相互定理と呼ばれる関係や、チェビシェフ多項式と呼ばれる多項式との関係も紹介します。第2講では、フィボナッチ数の数論的性質にスポットライトを当てます。
例えば、第3項,第6項,第9項,第12項,…が2の倍数、第4項,第8項,第12項,…が3の倍数など、ある数で割った余りが周期的に現れます。さらに、なんとフィボナッチ数列に現れる平方数をすべて求めることができます。
フィボナッチ数というピンポイントな話題をぜひ一緒に掘り下げてみませんか?

テーマ

第1講 フィボナッチ数と多項式
第2講 フィボナッチ数と整数論

時間割・担当講師

日程

8月6日(木)・8月7日(金)

8月20日(木)・8月21日(金)

時間

17:50~21:00

13:00~16:10

講座コード

M132

M322

講師名

三神 雄太郎

布施 音人

結び目理論 ~結び目を区別する方法~

テーマ探求

受講目安

主な対象学年は指定しません。興味のある方であればどなたでもご受講いただけます。なお、文字式の計算についての基礎知識を必要とします。

講座内容

1本の紐を好きなように絡ませて、その両端をつないだものを結び目といいます。2つの結び目は、紐を切ることなく片方からもう片方へ変形できるとき同じものであると見なすことにしましょう。この見方のもとでは、一見異なる結び目が実は同じものであるということがあり得ます。それでは、たとえば図の2つの結び目のような、互いに異なる2つの結び目を区別するにはどうしたらよいでしょうか。この問題を考えるには、「不変量」という数学全般で使われるアイデアが非常に有効になります。この講座では、ジョーンズ多項式を始めとする結び目の代表的な不変量をいくつか扱います。さらにそれらの不変量を用いて、いくつかの結び目が互いに異なることを証明します。結び目に親しむとともに、その奥に広がる数学の世界を実感できるでしょう。なお、本講座は、文字式に対する多少の慣れがあれば十分理解可能です。積極的にご参加ください

テーマ

第1講 結び目理論とは
第2講 変形と不変量
第3講 ジョーンズ多項式
第4講 素な結び目への分解

時間割・担当講師

日程

8月11日(火)~8月14日(金)

時間

13:00~16:10

講座コード

M222

講師名

布施 音人

ホモロジー論 ~代数による図形の探求~

テーマ探求 現代数学

受講目安

K会レギュラー講座「現代数学(1~3)」受講生専用の講座です。会員以外で受講をご希望の方はご相談ください。

講座内容

数学的な対象を調べる際に有効な考え方の1つに、「不変量」というものがあります。たとえば、平面上の三角形すべてを合同という関係で分類したとき、三角形の面積は不変量です。つまり、面積が等しくない2つの三角形は合同でないといえるわけです。また、多面体のEuler数、すなわち「(頂点の数)-(辺の数)+(面の数)」も不変量で、Euler数が異なる2つの多面体は伸び縮みで一致することはありません。この講座では、位相空間という図形的な対象を調べるための「不変量」として、ある種の加群を考えます。これがホモロジー群です。授業では、まず加群についての準備をいくらかした後、位相空間の特異ホモロジー群を定義し、それがホモトピー同値という関係で分類したときの不変量になっていることを証明します。その後は、ホモロジー群の性質をみていくとともに、Euclid空間・球面・射影空間などさまざまな位相空間のホモロジー群を計算します。またホモロジー群を用いて証明される不動点定理についても紹介します。加群という代数的な道具を用いて、位相空間という幾何的なものの性質を探ることができるということのおもしろさを実感してみてください。

テーマ

第1講 ホモロジー代数と特異ホモロジー
第2講 Mayer-Vietoris 完全系列
第3講 位相空間対のホモロジーと胞体複体のホモロジー
第4講 写像度とホモロジーの応用

時間割・担当講師

数学オリンピックに学ぶ証明問題の考え方

※この講座は録画配信も行います。
※ライブ配信ではなく授業を録画したものとなります。
※受講料は対面授業と同一料金です。
※詳しくはお問い合わせください

受講目安

主な対象学年は指定しませんが、中学数学について一通り理解している方を対象とします。なお、問題は本選や国際大会で出題されるようなレベルのものを扱います。

講座内容

皆さんは数学オリンピックの問題を見たことがありますか?数学オリンピックの問題は普段学校で扱う数学の問題とは一味違い、深い思考力が必要とされ、慣れていないととっつきにくいものが多いように思われます。この講座では、数学オリンピックの本選や国際大会に出題されるような証明問題への取り組み方を、国際数学オリンピックのメダリストでもあるK会の講師がその経験を活かしながら丁寧に解説します。まず始めによく使う知識や手法などを説明し、そのあと問題の考え方、解き方を解説します。数学オリンピックの問題に挑戦することによって思考力を伸ばし、今後の数学学習に大いに役立ててください。また、数学オリンピックの問題に触れることによって、学校で習う数学とは違ったおもしろさを感じることもできるでしょう。この講座を受講して実際に数学オリンピックに参加してみるのもよいでしょう。

テーマ

第1講 代数分野の問題(1)
第2講 代数分野の問題(2)
第3講 幾何分野の問題(1)
第4講 幾何分野の問題(2)

●日本数学オリンピックとは…

日本数学オリンピック(JMO)は、国際数学オリンピック(IMO)へ参加する代表を選ぶためのコンテストです。JMOには、予選と本選があり、予選は1月に実施され、成績順にAランク(予選合格・約200名)・Bランク(Aランク者を含めて上位50%まで)・Cランクと定めています。本選は2月にAランク者を対象に行われ、約20名がJMOのAAランク者に選ばれ、優勝者には川井杯、さらに成績順に金・銀・銅のメダルが授与されます。このAAランク者がIMOの日本代表選手候補として3月の合宿に参加し、そこでのテストの結果等に基づいて日本代表選手6名が選ばれます。

時間割・担当講師

日程

8月18日(火)~8月21日(金)

時間

16:40~19:50

講座コード

M332

講師名

西本 将樹

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