スタッフからのお知らせK会本郷教室
23件の新着情報があります。 1-10件を表示
小学生向け数学イベントを受付中です！
2026年9月19日 更新
小学生対象の数学イベントのお知らせです！
『無限の不思議』
11月29日(日) 10：00～12：00
講師：浅井 拓衛・石堀 朝陽
イベント案内はこちらから
「数」という考え方がまだなかった時代、人々は物を数えるとき、物と物を一対一に対応させる方法を用いていました。
例えば、羊が群れからはぐれていないかを毎日確かめたいなら、羊と同じ数の粘土を用意しておき、それぞれを一つずつ合わせることで数を確認しました。
この方法は無限個の物の集まりにも使えます。つまり、二つの無限個の集まりが一対一に対応しているなら、それらの個数は同じだと考えられます。
そして、この考え方は不思議な結果を導きます。
例えば、1、2、3、… を 2、4、6、… に対応させてみると、整数と偶数の個数は等しいと言えてしまいます。
このような「無限」が持つ興味深い性質を通して、数学の深みを覗いてみましょう。
お問合せ
K会事務局 ☎03-3813-4581
受付時間 火～土曜日（13:00-19:00）
※お申し込みはWebから
『無限の不思議』
11月29日(日) 10：00～12：00
講師：浅井 拓衛・石堀 朝陽
イベント案内はこちらから
「数」という考え方がまだなかった時代、人々は物を数えるとき、物と物を一対一に対応させる方法を用いていました。
例えば、羊が群れからはぐれていないかを毎日確かめたいなら、羊と同じ数の粘土を用意しておき、それぞれを一つずつ合わせることで数を確認しました。
この方法は無限個の物の集まりにも使えます。つまり、二つの無限個の集まりが一対一に対応しているなら、それらの個数は同じだと考えられます。
そして、この考え方は不思議な結果を導きます。
例えば、1、2、3、… を 2、4、6、… に対応させてみると、整数と偶数の個数は等しいと言えてしまいます。
このような「無限」が持つ興味深い性質を通して、数学の深みを覗いてみましょう。
お問合せ
K会事務局 ☎03-3813-4581
受付時間 火～土曜日（13:00-19:00）
※お申し込みはWebから
━【現代数学の視座と眺望№10(Ｋ会元数学科講師：立原礼也) 】━
2026年9月12日 更新
━【現代数学の視座と眺望№10(Ｋ会元数学科講師：立原礼也) 】━
★「現代数学」、つまり大雑把には「大学の数学科レベルの数学」は、中高で習う数学と地続きに繋がっていながらも、様々な面で、全く新しい考え方に基づくものでもあります。筆者が数学を専攻することに決めたのも、この新しくも自然な考え方の数々に魅了されてのことでした。このコラムでは、現代数学におけるものの見方=「視座」、そしてそれによるものの見え方=「眺望」の解説を通じ、現代数学の魅力の一端をお伝えしていきます★
拡大実数と補完数直線
読者の皆さん、こんにちは。
K会数学科元講師の立原礼也と申します。
本連載の前々回の第9回は「無限次元空間」の話題を含んでいて、そして前回の第10回は「無限桁の整数」がテーマでした。何故だか「無限」という言葉が出てくる話題が続いています。そこで今回から次回にかけては「無限」そのものについて少し掘り下げてみたいと思い至りました。とはいえ、無限というのは不思議な概念で、歴史的にも多くの哲学者や数学者を悩ませてきたものだと聞いていますし、そういった側面に立ち入るのは筆者の力量を超えるようにも思います。ですので、「無限とは何か？」という根本的な問題にはほとんど立ち入らず、もっとフランクに、「現代数学の現場でどう使われるか」という視点から「無限」について語ってみましょう。
さて、一口に「無限」と言っても、2通りの全く異なる用法が思いつきます。（意外と、この違いを指摘している解説をあまり見かけない気がしたので、詳しく書いてみようと思ったのです。）大雑把に言えば、一つは「量が有限でない」という意味の無限であり、もう一つは「個数が有限でない」という意味の無限です。（「個数だって量の一種じゃないか」とか、色々ツッコミどころがある気がしますが、標語だと思って大目に見てください。）なお、高校数学の「関数の極限」の分野で出てくる無限は前者に非常に近いものです。また、大学数学の入門記事等で解説される無限は後者であることが多いです。以下に詳しく説明しましょう。ただし、この2通りのそれぞれについて、記事一本分の文字数が必要ですので、今回は主に前者の話を、そして次回の記事で主に後者の話をしようと思います。
では本題に入りましょう。前者の「量が有限でない」無限は、専門用語を使って言えば「拡大実数としての無限大」のことです。基本的に、8の字を横に倒したような記号∞で表されるのはこちらの方です。難しい話なので、ゆっくり順番に説明しましょう。
「量」は、「実数」という種類の数を使って表されます。その典型例が図形の長さや面積、体積です。例えば、一辺の長さが2の正方形の面積は4ですが、この2と4はともに実数です。また、面積が3の正方形の一辺の長さがルート3（約1.732）であることを中学校で学びますが、このルート3も実数です。それから円周率（直径が1であるような円の周長）なども実数です。それから、（これは「量」を表すとは言いづらいかもしれませんが）マイナス2、マイナス4、マイナスルート3、マイナス円周率のように、マイナスをつけたもの（負の数）も実数です。ゼロも実数です。ここに例示したもの以外にも、実数は沢山あります。（まさに実数は無限個あるわけですが、この「無限個ある」というときの「無限」は次回に解説するものであって、いま説明しようとしている無限（拡大実数としての無限大∞）とは意味合いが違うということなのです。すごくややこしいですね。）
繰り返しになりますが、図形としては、我々は「どこまでも続く」「どこまでも広がる」ようなものを想像することもできます。（正確に言えば、本当に「想像できる」かは疑わしいと私は思いますが、それでも、数学的な考察対象とすることは可能です。）例えば「どこまでも広がる平面」を考えることもできます。数学的にはxy座標平面そのものを考えたらよいのです。これをここでは（planeの頭文字をとって）Pと呼ぶことにしてみましょう。では、この平面Pの面積はどのくらい大きいでしょうか？当然、Pは一辺の長さ1の正方形をまるごと含んでいますから、Pの面積は1以上のはずです。Pは一辺の長さ2の正方形も含みますから、Pの面積は4以上です。Pは一辺の長さ3の正方形も含みますから、Pの面積は9以上です。Pは一辺の長さ1万の正方形も含みますから、Pの面積は1億以上です。こういう風に考えていくと、Pの面積を実数で表すことはできないことがわかります。何しろ、このような考察から、Pの面積はどんな実数よりも大きいことが分かってしまいますが、「どんな実数よりも大きい」実数は存在しません。
Pの面積を実数で表すことはできないわけですが、「Pの面積はどんな実数よりも大きい」という感覚を我々はもっています。ですから、こういった「どんな実数よりも大きい」量を議論に導入できると、我々の感覚に即した議論ができ、いろいろな記述が便利になる可能性がありますね。実のところ、このような動機で導入されるのが「（正の）無限大」∞なのです。これにマイナスをつけた版の「負の無限大」－∞もあります。実数に、さらに∞と－∞も仲間に加えて、総称して「拡大実数」ということがあります。（理解の確認：∞と－∞は実数ではありませんが、拡大実数です。そして、∞と－∞以外の拡大実数は、実数です。）
ちょっと補足しましょう。「実数に、さらに∞と－∞も仲間に加えて」と書きましたが、そんなことを好き勝手にしてよいのでしょうか？私自身、高校生に極限を教えるような文脈ですと、∞や－∞は「数ではない」という言い方をすることがあります。それを「仲間」として迎え入れることは「ルール違反」ではないのでしょうか？実は全然「ルール違反」ではなく、現代数学ではそんなことも好き勝手にやってよい、その代わり別の側面で注意点や苦労も増えることがある、というのが答えです。こういった話題については、本連載の第1回で複素数（虚数も含めて実数を拡張した数体系）について復習し、第2回で現代の数学者が複素数を厳密に扱う方法を解説したときに丁寧に説明しました。ですから詳細は当該回を参照してほしいのですが、拡大実数を考えるのは、複素数を考えるのと（数学的内容は全然違うものの、基礎にある考え方は）あまり変わらない、ということです。実数の計算体系を拡張した「人工物」として複素数の計算体系を作ったのと同じように、拡大実数の体系も人工物として構築してしまえばよいのです。ただし、複素数a、bについての掛け算の交換法則ab=baは（成立はするのですが）当たり前とは言えず新たに証明が必要だったり、また複素数にはうまく大小関係が定まらなかったりと、人工物を分析する上では「どんなことが数学的に正しいのか？」について基本的なことから丁寧に考えないと罠にはまる可能性があります。これが注意点や苦労が増える部分です。拡大実数についても、計算法則や大小関係がうまく定義できるかは注意する必要があります。そして実際、拡大実数の大小関係は完全にうまくいく一方で、「拡大実数の加減乗除はうまく定義できない（場合がある）」という悲しい事態も発生します。（とはいえ、普通の実数でも「0による割り算」はうまく定義できないわけで、それと同じようなことだと筆者は考えています。）具体例については補足を参照してください。
先ほど述べた通り、高校生に極限を教える文脈ですと、∞や－∞は「数ではない」という言い方もします。これは、「∞や－∞は実数ではない」「∞や－∞を実数と同等に扱ってはいけない場合がしばしばある」といったことを強調するための修辞としては妥当だと思います。しかし現代数学の観点からは、「数なのか、そうでないのか」ということ自体は、あまり意味のない議論です。演算がうまくいかないから数でないというのなら、割り算がうまくいかないゼロも数ではない、ということにもなりかねません。（「数」っていったい何なのでしょう？）いずれにしても、現代数学では∞や－∞を含めた拡大実数も考えることができ、それは議論において有用であり、ただし残念ながら拡大実数の計算は実数ほどはうまくいかない。それだけの話です。
最後になりますが、∞や－∞を含む拡大実数をどう「想像する」のがよいのでしょうか？1つの提案を述べて締めくくりましょう（完全な回答は次回になってしまうのですが）。拡大実数の想像のために、そもそも実数をどう「想像する」のかを復習しましょう。実数については、「数直線上の点（に対応する数）」として説明することがよくあります。もちろん、3という実数を「3個のリンゴ」を通じて想像する、ということも可能ですし、小さな正の整数などではこちらの方がわかりやすいでしょう。しかし、全ての実数に同時的に通用する考え方を採ろうとすると、数直線のような幾分抽象的な、洗練された考え方が大切になります。もっと大事なこととして、現代数学では個々の数よりも、それらのなす数体系を全体として捉えることが大切ですので、沢山ある「実数たち」を一気に想像する方法としても、数直線は優れています。そして実は、ここでは詳しく解説できませんが、「実数=数直線上の点」という考え方は、そもそも実数という概念の根幹にかかわるものでもあります。
ですので実数は数直線上の点として想像しましょう。そうすると、右に行くほど大きな実数に対応するので、∞は「どんな点よりも更に右にある」ものとして想像できます。また、－∞は「どんな点よりも更に左にある」ものとして想像できます。そこで、数直線の「両端」に∞と－∞を付け加えたものを補完数直線と呼ぶことにしましょう。すると、拡大実数とは、「補完数直線上の点（に対応する数）」として想像することが可能になります。もちろん数直線は左右どこまでも続いていて「両端」なんてありませんから、拡大実数を想像する方法としては、これでもまだ少し誤魔化していると思います。これを解消するためには、数直線を「両端」がある形に想像しなおす必要があります。そして、そのために、次回解説する予定の内容も深くかかわってくるのです！
次回は、今回紹介したのとは全く異なる「個数が有限でない」という無限、つまり専門用語を使って言えば「濃度・基数としての無限」についてご紹介したいと思います。その内容は、ある意味、今回扱った拡大実数や補完数直線のようなテーマよりもずっと根源的・普遍的なものです。ですからそれは、率直に言えば、今回の内容とあまり直接の関係はありません。しかし、とにかく普遍的なテーマであるため、次回の解説における一つの具体例が、結果的に、「おまけ」「ついで」のように「補完数直線の想像のしかた」のような問題にも関わってくるのです。次回をお楽しみにして頂けましたら幸いです。
---
（補足）
拡大実数の加減乗除を感覚に合わせて定義しようとすると、困ったことが起こります。例えば、普通の（有限な）実数aに対しては、a+∞=∞と定めたくなると思います。さらに、普通の実数ではa+(-a)=0ですから（これは-aの定義のようなものです）、それに合わせて∞+(-∞)=0としたくなるかもしれません。しかし、もし仮にこの両方を採用してしまうと、拡大実数に対しては、「普段やっている常識的な計算」が成り立たなくなってしまいます。例えば(a+∞)+(-∞)=∞+(-∞)=0、a+(∞+(-∞))=a+0=aとなって、足し算の結合法則も成り立たなくなってしまいます。もちろん、演算の定義は人工的に行っているだけですから、結合法則が成り立たないのすら覚悟のうえで、このように演算を決めるのも数学者の自由です。その場合、結合法則の不成立につねに重々注意して計算をしなくてはならない、というだけです。（足し算の結合法則以外の、他の計算法則についても同様の心配・注意が必要です。）ただし実際には、数学者は（筆者の知る限り）皆、a+∞=∞を採用し、（普通の実数でゼロ除算が未定義なのと同じように）∞+(-∞)は未定義としています。したがってまた、－∞についているマイナス記号は、普段の実数のマイナス記号と意味が違う、という言い方もできるかもしれません。
（意欲ある読者に向けた、答えのない演習問題）
上の補足に関して、なぜ数学者はa+∞=∞を棄却するのではなく、∞+(-∞)=0の方を棄却することにしたのでしょうか？考えてみてください。ヒントとしては、本文で説明した通り、∞とは「（正かつ）有限でない」ということを表す記号に過ぎない、ということです。同様に、－∞は「（負かつ）有限でない」ということに過ぎません。つまり、∞や－∞に関しては、実数よりも認識の解像度が下がっているのです。
また、他にも、∞や－∞が絡む計算をどのように定義する（あるいは定義しない）のが妥当か、考えてみてください。
★「現代数学」、つまり大雑把には「大学の数学科レベルの数学」は、中高で習う数学と地続きに繋がっていながらも、様々な面で、全く新しい考え方に基づくものでもあります。筆者が数学を専攻することに決めたのも、この新しくも自然な考え方の数々に魅了されてのことでした。このコラムでは、現代数学におけるものの見方=「視座」、そしてそれによるものの見え方=「眺望」の解説を通じ、現代数学の魅力の一端をお伝えしていきます★
拡大実数と補完数直線
読者の皆さん、こんにちは。
K会数学科元講師の立原礼也と申します。
本連載の前々回の第9回は「無限次元空間」の話題を含んでいて、そして前回の第10回は「無限桁の整数」がテーマでした。何故だか「無限」という言葉が出てくる話題が続いています。そこで今回から次回にかけては「無限」そのものについて少し掘り下げてみたいと思い至りました。とはいえ、無限というのは不思議な概念で、歴史的にも多くの哲学者や数学者を悩ませてきたものだと聞いていますし、そういった側面に立ち入るのは筆者の力量を超えるようにも思います。ですので、「無限とは何か？」という根本的な問題にはほとんど立ち入らず、もっとフランクに、「現代数学の現場でどう使われるか」という視点から「無限」について語ってみましょう。
さて、一口に「無限」と言っても、2通りの全く異なる用法が思いつきます。（意外と、この違いを指摘している解説をあまり見かけない気がしたので、詳しく書いてみようと思ったのです。）大雑把に言えば、一つは「量が有限でない」という意味の無限であり、もう一つは「個数が有限でない」という意味の無限です。（「個数だって量の一種じゃないか」とか、色々ツッコミどころがある気がしますが、標語だと思って大目に見てください。）なお、高校数学の「関数の極限」の分野で出てくる無限は前者に非常に近いものです。また、大学数学の入門記事等で解説される無限は後者であることが多いです。以下に詳しく説明しましょう。ただし、この2通りのそれぞれについて、記事一本分の文字数が必要ですので、今回は主に前者の話を、そして次回の記事で主に後者の話をしようと思います。
では本題に入りましょう。前者の「量が有限でない」無限は、専門用語を使って言えば「拡大実数としての無限大」のことです。基本的に、8の字を横に倒したような記号∞で表されるのはこちらの方です。難しい話なので、ゆっくり順番に説明しましょう。
「量」は、「実数」という種類の数を使って表されます。その典型例が図形の長さや面積、体積です。例えば、一辺の長さが2の正方形の面積は4ですが、この2と4はともに実数です。また、面積が3の正方形の一辺の長さがルート3（約1.732）であることを中学校で学びますが、このルート3も実数です。それから円周率（直径が1であるような円の周長）なども実数です。それから、（これは「量」を表すとは言いづらいかもしれませんが）マイナス2、マイナス4、マイナスルート3、マイナス円周率のように、マイナスをつけたもの（負の数）も実数です。ゼロも実数です。ここに例示したもの以外にも、実数は沢山あります。（まさに実数は無限個あるわけですが、この「無限個ある」というときの「無限」は次回に解説するものであって、いま説明しようとしている無限（拡大実数としての無限大∞）とは意味合いが違うということなのです。すごくややこしいですね。）
繰り返しになりますが、図形としては、我々は「どこまでも続く」「どこまでも広がる」ようなものを想像することもできます。（正確に言えば、本当に「想像できる」かは疑わしいと私は思いますが、それでも、数学的な考察対象とすることは可能です。）例えば「どこまでも広がる平面」を考えることもできます。数学的にはxy座標平面そのものを考えたらよいのです。これをここでは（planeの頭文字をとって）Pと呼ぶことにしてみましょう。では、この平面Pの面積はどのくらい大きいでしょうか？当然、Pは一辺の長さ1の正方形をまるごと含んでいますから、Pの面積は1以上のはずです。Pは一辺の長さ2の正方形も含みますから、Pの面積は4以上です。Pは一辺の長さ3の正方形も含みますから、Pの面積は9以上です。Pは一辺の長さ1万の正方形も含みますから、Pの面積は1億以上です。こういう風に考えていくと、Pの面積を実数で表すことはできないことがわかります。何しろ、このような考察から、Pの面積はどんな実数よりも大きいことが分かってしまいますが、「どんな実数よりも大きい」実数は存在しません。
Pの面積を実数で表すことはできないわけですが、「Pの面積はどんな実数よりも大きい」という感覚を我々はもっています。ですから、こういった「どんな実数よりも大きい」量を議論に導入できると、我々の感覚に即した議論ができ、いろいろな記述が便利になる可能性がありますね。実のところ、このような動機で導入されるのが「（正の）無限大」∞なのです。これにマイナスをつけた版の「負の無限大」－∞もあります。実数に、さらに∞と－∞も仲間に加えて、総称して「拡大実数」ということがあります。（理解の確認：∞と－∞は実数ではありませんが、拡大実数です。そして、∞と－∞以外の拡大実数は、実数です。）
ちょっと補足しましょう。「実数に、さらに∞と－∞も仲間に加えて」と書きましたが、そんなことを好き勝手にしてよいのでしょうか？私自身、高校生に極限を教えるような文脈ですと、∞や－∞は「数ではない」という言い方をすることがあります。それを「仲間」として迎え入れることは「ルール違反」ではないのでしょうか？実は全然「ルール違反」ではなく、現代数学ではそんなことも好き勝手にやってよい、その代わり別の側面で注意点や苦労も増えることがある、というのが答えです。こういった話題については、本連載の第1回で複素数（虚数も含めて実数を拡張した数体系）について復習し、第2回で現代の数学者が複素数を厳密に扱う方法を解説したときに丁寧に説明しました。ですから詳細は当該回を参照してほしいのですが、拡大実数を考えるのは、複素数を考えるのと（数学的内容は全然違うものの、基礎にある考え方は）あまり変わらない、ということです。実数の計算体系を拡張した「人工物」として複素数の計算体系を作ったのと同じように、拡大実数の体系も人工物として構築してしまえばよいのです。ただし、複素数a、bについての掛け算の交換法則ab=baは（成立はするのですが）当たり前とは言えず新たに証明が必要だったり、また複素数にはうまく大小関係が定まらなかったりと、人工物を分析する上では「どんなことが数学的に正しいのか？」について基本的なことから丁寧に考えないと罠にはまる可能性があります。これが注意点や苦労が増える部分です。拡大実数についても、計算法則や大小関係がうまく定義できるかは注意する必要があります。そして実際、拡大実数の大小関係は完全にうまくいく一方で、「拡大実数の加減乗除はうまく定義できない（場合がある）」という悲しい事態も発生します。（とはいえ、普通の実数でも「0による割り算」はうまく定義できないわけで、それと同じようなことだと筆者は考えています。）具体例については補足を参照してください。
先ほど述べた通り、高校生に極限を教える文脈ですと、∞や－∞は「数ではない」という言い方もします。これは、「∞や－∞は実数ではない」「∞や－∞を実数と同等に扱ってはいけない場合がしばしばある」といったことを強調するための修辞としては妥当だと思います。しかし現代数学の観点からは、「数なのか、そうでないのか」ということ自体は、あまり意味のない議論です。演算がうまくいかないから数でないというのなら、割り算がうまくいかないゼロも数ではない、ということにもなりかねません。（「数」っていったい何なのでしょう？）いずれにしても、現代数学では∞や－∞を含めた拡大実数も考えることができ、それは議論において有用であり、ただし残念ながら拡大実数の計算は実数ほどはうまくいかない。それだけの話です。
最後になりますが、∞や－∞を含む拡大実数をどう「想像する」のがよいのでしょうか？1つの提案を述べて締めくくりましょう（完全な回答は次回になってしまうのですが）。拡大実数の想像のために、そもそも実数をどう「想像する」のかを復習しましょう。実数については、「数直線上の点（に対応する数）」として説明することがよくあります。もちろん、3という実数を「3個のリンゴ」を通じて想像する、ということも可能ですし、小さな正の整数などではこちらの方がわかりやすいでしょう。しかし、全ての実数に同時的に通用する考え方を採ろうとすると、数直線のような幾分抽象的な、洗練された考え方が大切になります。もっと大事なこととして、現代数学では個々の数よりも、それらのなす数体系を全体として捉えることが大切ですので、沢山ある「実数たち」を一気に想像する方法としても、数直線は優れています。そして実は、ここでは詳しく解説できませんが、「実数=数直線上の点」という考え方は、そもそも実数という概念の根幹にかかわるものでもあります。
ですので実数は数直線上の点として想像しましょう。そうすると、右に行くほど大きな実数に対応するので、∞は「どんな点よりも更に右にある」ものとして想像できます。また、－∞は「どんな点よりも更に左にある」ものとして想像できます。そこで、数直線の「両端」に∞と－∞を付け加えたものを補完数直線と呼ぶことにしましょう。すると、拡大実数とは、「補完数直線上の点（に対応する数）」として想像することが可能になります。もちろん数直線は左右どこまでも続いていて「両端」なんてありませんから、拡大実数を想像する方法としては、これでもまだ少し誤魔化していると思います。これを解消するためには、数直線を「両端」がある形に想像しなおす必要があります。そして、そのために、次回解説する予定の内容も深くかかわってくるのです！
次回は、今回紹介したのとは全く異なる「個数が有限でない」という無限、つまり専門用語を使って言えば「濃度・基数としての無限」についてご紹介したいと思います。その内容は、ある意味、今回扱った拡大実数や補完数直線のようなテーマよりもずっと根源的・普遍的なものです。ですからそれは、率直に言えば、今回の内容とあまり直接の関係はありません。しかし、とにかく普遍的なテーマであるため、次回の解説における一つの具体例が、結果的に、「おまけ」「ついで」のように「補完数直線の想像のしかた」のような問題にも関わってくるのです。次回をお楽しみにして頂けましたら幸いです。
---
（補足）
拡大実数の加減乗除を感覚に合わせて定義しようとすると、困ったことが起こります。例えば、普通の（有限な）実数aに対しては、a+∞=∞と定めたくなると思います。さらに、普通の実数ではa+(-a)=0ですから（これは-aの定義のようなものです）、それに合わせて∞+(-∞)=0としたくなるかもしれません。しかし、もし仮にこの両方を採用してしまうと、拡大実数に対しては、「普段やっている常識的な計算」が成り立たなくなってしまいます。例えば(a+∞)+(-∞)=∞+(-∞)=0、a+(∞+(-∞))=a+0=aとなって、足し算の結合法則も成り立たなくなってしまいます。もちろん、演算の定義は人工的に行っているだけですから、結合法則が成り立たないのすら覚悟のうえで、このように演算を決めるのも数学者の自由です。その場合、結合法則の不成立につねに重々注意して計算をしなくてはならない、というだけです。（足し算の結合法則以外の、他の計算法則についても同様の心配・注意が必要です。）ただし実際には、数学者は（筆者の知る限り）皆、a+∞=∞を採用し、（普通の実数でゼロ除算が未定義なのと同じように）∞+(-∞)は未定義としています。したがってまた、－∞についているマイナス記号は、普段の実数のマイナス記号と意味が違う、という言い方もできるかもしれません。
（意欲ある読者に向けた、答えのない演習問題）
上の補足に関して、なぜ数学者はa+∞=∞を棄却するのではなく、∞+(-∞)=0の方を棄却することにしたのでしょうか？考えてみてください。ヒントとしては、本文で説明した通り、∞とは「（正かつ）有限でない」ということを表す記号に過ぎない、ということです。同様に、－∞は「（負かつ）有限でない」ということに過ぎません。つまり、∞や－∞に関しては、実数よりも認識の解像度が下がっているのです。
また、他にも、∞や－∞が絡む計算をどのように定義する（あるいは定義しない）のが妥当か、考えてみてください。
【K会】2学期体験授業を受付中です！
2026年8月28日 更新
こんにちは。K会事務局です。
夏期講習も終了し、いよいよ2学期の開講も迫ってまいりました。
K会では2学期の授業を体験授業として、受講していただける授業見学を受付中です。
別な名前の講座であれば何度でも受講可能です。
例えば、レベルに迷う！という方はM1とM２を両方体験していただくことができます。
| 科目 | 講座名 | 受講目安 | 初回授業日 | 時間 |
|---|---|---|---|---|
| 数学 | M１ | 中学1年生から中学3年生 | 9月2日（水） | 17:50～21:00 |
| 数学 | M１ | 中学1年生から中学3年生 | 9月5日（土） | 14:20～17:30 |
| 数学 | M２ | 中学3年生から高校２年生 | 9月3日（木） | 17:50～21:00 |
| 数学 | M２ | 中学3年生から高校２年生 | 9月5日（土） | 14:20～17:30 |
| 数学 | 数学の楽しさ１ | 中高数学を学ばれた方 | 9月5日（土） | 14:20～17:30 |
| 数学 | 数学の楽しさ２ | 中高数学を学ばれた方 | 9月5日（土） | 17:50～21:00 |
| 数学 | 数学オリンピックに学ぶ証明の技法 | 中高数学を学ばれた方 | 9月2日（水） | 17:50～21:00 |
| 情報科学 | IS１ | 初学者 | 9月1日（火） | 17:50～21:00 |
| 情報科学 | IS１ | 初学者 | 9月4日（金） | 17:50～21:00 |
| 情報科学 | IS2 | プログラミング経験者 | 9月2日（水） | 17:50～21:00 |
| 物理 | P１ | 微積分の知識がある方 | 9月4日（金） | 17:50～21:00 |
授業の選び方に迷う！どの講座を体験するか相談に乗ってほしい！という方はお気軽にK会事務局までお電話ください。
秋から一緒に学問の世界を楽しみましょう！
お申込みは以下のリンクからお進みください。お待ちしております！
お申込みはこちらから
━【「言語学をのぞいてみよう その44」(元Ｋ会英語科講師：野中大輔) 】━
2026年4月17日 更新
━【「言語学をのぞいてみよう その44」(元Ｋ会英語科講師：野中大輔) 】━
★このコラムでは、言語学を研究している筆者（元Ｋ会英語科講師）が、英語・言語学・外国語学習・比較文化などの話題をお伝えしていきます。★
福神漬けをもとに「知っている」を考える
みなさんは、国語辞典で「福神漬け」の項目を見たことがありますか。最近では辞書を使う機会自体が少なくなっているかもしれませんが、使うとしても、たいていは知らない語句に出会ったときでしょう。「福神漬け」は多くの人にとって馴染みのある語でしょうから、あえて調べることもないと思います。今回は辞書の「福神漬け」の項目をきっかけに、英語学習について考えてみましょう。
国語辞典にもいろいろありますが、ここでは『新明解国語辞典』と『明鏡国語辞典』における「福神漬け」の項目を見ることにします。
（1）『新明解国語辞典』（第八版、三省堂）
細かく刻んだナス・ナタマメ・ダイコンなど七種の野菜を塩水にしばらく漬けたあと、さらにみりんじょうゆに漬けて煮詰めた食品。
（2）『明鏡国語辞典』（第三版、大修館書店）
漬物の一つ。ダイコン・ナス・レンコン・ナタマメ・シソの実などを刻んで塩漬けにし、塩抜きをしてから味醂（みりん）・砂糖（しょうゆ）などで調味した醬油に漬け込んだもの。▷七種の材料を七福神に見立てて命名したという。
どちらも食材を挙げ、どのように調理した食品なのかを書いています。これを見て初めて福神漬けに使われている野菜を知ったという人もいるかもしれませんね。『明鏡国語辞典』には名前の由来も紹介されています。
このように、「福神漬け」の項目を見ると勉強になるのですが、一方で大事な情報が載っていないように思いませんか。そう、どちらの辞書もカレーについて一言も触れていないのです。福神漬けといえば、カレーの付け合わせとして食べる場面がまず思い浮かびますよね。逆にそれ以外の場面で食べることがほとんどないぐらいです。試しに他にも数種類の国語辞典で「福神漬け」を見てみましたが、驚くことに、いずれもカレーには触れていませんでした。
このような付け合わせの情報は辞書に載っていないのかというと、必ずしもそうではありません。たとえば「ガリ」の項目であれば、先ほど見たすべての辞書で、寿司あるいは寿司屋についての言及がありました。「福神漬け」の項目でも、カレーの付け合わせについての情報が今後追加されることがあるかもしれません。
さて、ここまで辞書における「福神漬け」の話をしてきましたが、本題はここからです。もし「福神漬けは知っていたけど、カレーの付け合わせとして食べることは知らなかった」と言う人がいたら、どうでしょう。福神漬けはカレー以外の食べ物にも合うはずですが（たとえばチャーハンはおすすめです）、福神漬けが提供されるのは大部分がカレーの付け合わせとしてであり、それを知らない場合「福神漬けを知っている」とは言いづらいと感じるのではないでしょうか。
これを「Xは知っていたけど、XをYすることは知らなかった」という形に直して、XとYにいろいろと入れてみると応用が利きます。英語学習に当てはめてみましょう。例としてenterという動詞を取り上げます。enterを「入る」という訳語で覚えている人が多いと思いますが、部屋に入ることを表したいときは、enter the roomと言います。この場合のenterは他動詞（目的語を伴う動詞）で、the roomは目的語です。日本語の「部屋に入る」の「に」につられて、enter into the roomのように前置詞intoを入れてしまうと誤りです（enterを自動詞（目的語を伴わない動詞）だと勘違いしていることになります）。おそらく「enterという動詞は知っていたけれど、他動詞として使うことは知らなかった」と言いたくなる人もいると思いますが、先ほどの福神漬けの話に即して言えば、そうした基本的な用法を知らないのであれば、「enterを知っている」とは言いづらいでしょう。
英語学習で「Xは知っていたけど、XをYすることは知らなかった」と言いたくなったときには、福神漬けの話を思い出してください。Xを知っているなら当然知っているべきYという使い方を知らずに、Xを知っている気になっていないか。このようなチェックをしながら英語に触れるようにすると、「知っているつもり」に陥るのを避け、学習を深めていくことができるでしょう。
今回で本コラムの私の担当は最後になります。毎回の記事では、言語に関する身近な話題を取り上げながら、言語学や英語学習につながる話をしてきました。このコラムをお読みくださった方には、最近出版した以下の本も楽しんでいただけるかもしれません（福神漬けの話はこちらの本に一部書いています）。
平沢慎也・野中大輔『実例から眺める「豊かな文法」の世界：ことばのありのままと向き合う英語学習』（大修館書店）
これまでお読みくださり、ありがとうございました。今後も書籍や雑誌記事のかたちで発信を続けていきますので、またどこかでお目にかかる機会がありましたら幸いです。
［補足］
『新明解国語辞典』と『明鏡国語辞典』は、物書堂が提供する辞書アプリ（iOS、macOS用）のバージョンを使用しました。辞書の説明が言語の実態を十分に反映しているとは限りませんが、注意深く選定された解説や用例が掲載されている辞書は、今も有益な道具であることに変わりありません。現在、物書堂では新学期のセールも行われていますので、これを機に、どのような国語辞典や英和辞典があるのか見てみてください。
https://www.monokakido.jp/ja/
★このコラムでは、言語学を研究している筆者（元Ｋ会英語科講師）が、英語・言語学・外国語学習・比較文化などの話題をお伝えしていきます。★
福神漬けをもとに「知っている」を考える
みなさんは、国語辞典で「福神漬け」の項目を見たことがありますか。最近では辞書を使う機会自体が少なくなっているかもしれませんが、使うとしても、たいていは知らない語句に出会ったときでしょう。「福神漬け」は多くの人にとって馴染みのある語でしょうから、あえて調べることもないと思います。今回は辞書の「福神漬け」の項目をきっかけに、英語学習について考えてみましょう。
国語辞典にもいろいろありますが、ここでは『新明解国語辞典』と『明鏡国語辞典』における「福神漬け」の項目を見ることにします。
（1）『新明解国語辞典』（第八版、三省堂）
細かく刻んだナス・ナタマメ・ダイコンなど七種の野菜を塩水にしばらく漬けたあと、さらにみりんじょうゆに漬けて煮詰めた食品。
（2）『明鏡国語辞典』（第三版、大修館書店）
漬物の一つ。ダイコン・ナス・レンコン・ナタマメ・シソの実などを刻んで塩漬けにし、塩抜きをしてから味醂（みりん）・砂糖（しょうゆ）などで調味した醬油に漬け込んだもの。▷七種の材料を七福神に見立てて命名したという。
どちらも食材を挙げ、どのように調理した食品なのかを書いています。これを見て初めて福神漬けに使われている野菜を知ったという人もいるかもしれませんね。『明鏡国語辞典』には名前の由来も紹介されています。
このように、「福神漬け」の項目を見ると勉強になるのですが、一方で大事な情報が載っていないように思いませんか。そう、どちらの辞書もカレーについて一言も触れていないのです。福神漬けといえば、カレーの付け合わせとして食べる場面がまず思い浮かびますよね。逆にそれ以外の場面で食べることがほとんどないぐらいです。試しに他にも数種類の国語辞典で「福神漬け」を見てみましたが、驚くことに、いずれもカレーには触れていませんでした。
このような付け合わせの情報は辞書に載っていないのかというと、必ずしもそうではありません。たとえば「ガリ」の項目であれば、先ほど見たすべての辞書で、寿司あるいは寿司屋についての言及がありました。「福神漬け」の項目でも、カレーの付け合わせについての情報が今後追加されることがあるかもしれません。
さて、ここまで辞書における「福神漬け」の話をしてきましたが、本題はここからです。もし「福神漬けは知っていたけど、カレーの付け合わせとして食べることは知らなかった」と言う人がいたら、どうでしょう。福神漬けはカレー以外の食べ物にも合うはずですが（たとえばチャーハンはおすすめです）、福神漬けが提供されるのは大部分がカレーの付け合わせとしてであり、それを知らない場合「福神漬けを知っている」とは言いづらいと感じるのではないでしょうか。
これを「Xは知っていたけど、XをYすることは知らなかった」という形に直して、XとYにいろいろと入れてみると応用が利きます。英語学習に当てはめてみましょう。例としてenterという動詞を取り上げます。enterを「入る」という訳語で覚えている人が多いと思いますが、部屋に入ることを表したいときは、enter the roomと言います。この場合のenterは他動詞（目的語を伴う動詞）で、the roomは目的語です。日本語の「部屋に入る」の「に」につられて、enter into the roomのように前置詞intoを入れてしまうと誤りです（enterを自動詞（目的語を伴わない動詞）だと勘違いしていることになります）。おそらく「enterという動詞は知っていたけれど、他動詞として使うことは知らなかった」と言いたくなる人もいると思いますが、先ほどの福神漬けの話に即して言えば、そうした基本的な用法を知らないのであれば、「enterを知っている」とは言いづらいでしょう。
英語学習で「Xは知っていたけど、XをYすることは知らなかった」と言いたくなったときには、福神漬けの話を思い出してください。Xを知っているなら当然知っているべきYという使い方を知らずに、Xを知っている気になっていないか。このようなチェックをしながら英語に触れるようにすると、「知っているつもり」に陥るのを避け、学習を深めていくことができるでしょう。
今回で本コラムの私の担当は最後になります。毎回の記事では、言語に関する身近な話題を取り上げながら、言語学や英語学習につながる話をしてきました。このコラムをお読みくださった方には、最近出版した以下の本も楽しんでいただけるかもしれません（福神漬けの話はこちらの本に一部書いています）。
平沢慎也・野中大輔『実例から眺める「豊かな文法」の世界：ことばのありのままと向き合う英語学習』（大修館書店）
これまでお読みくださり、ありがとうございました。今後も書籍や雑誌記事のかたちで発信を続けていきますので、またどこかでお目にかかる機会がありましたら幸いです。
［補足］
『新明解国語辞典』と『明鏡国語辞典』は、物書堂が提供する辞書アプリ（iOS、macOS用）のバージョンを使用しました。辞書の説明が言語の実態を十分に反映しているとは限りませんが、注意深く選定された解説や用例が掲載されている辞書は、今も有益な道具であることに変わりありません。現在、物書堂では新学期のセールも行われていますので、これを機に、どのような国語辞典や英和辞典があるのか見てみてください。
https://www.monokakido.jp/ja/
★春期セミナーのご案内★
2026年3月21日 更新
みなさんこんにちは。K会事務局です！
今回は春期セミナーのお知らせです！
未解決問題の世界を見てみよう～平面図形に潜む謎～
講演者：小泉淳之介（理化学研究所数理創造研究センター 基礎科学特別研究員）
■日時 4月11日（土）13:00～15:00
■対象 新中学１年生～新高校３年生とその保護者
■料金 無料
■会場 河合塾本郷校
学校の数学の授業では、これまでの人類が発見し、証明してきた定理や公式を学びます。高校までに扱う内容の多くは、主に18 世紀ごろまでに形づくられた数学だと言ってよいでしょう。その一方で、19 世紀以降に加速した数学の発展や、いまなお答えが見つかっていない未解決問題の数々は、授業の中ではあまり触れられません。私自身、いまは研究を始めたばかりの数学者として日々さまざまな問題に向き合っていますが、中高生の頃は数学の世界がここまで広いとは想像できませんでした。
このセミナーでは、皆さんにとっても身近な「平面図形」を切り口に、数え切れないほどの未解決問題の中からいくつかを取り上げて紹介します。たとえば、三角形や四角形の配置、点と点の間の距離、角度や面積といった素朴な問いが、驚くほど難しい問題につながることがあります。あわせて、それぞれの問題に対して数学者たちがどんな道筋で研究を進め、現時点でどこまで分かっているのかなども分かりやすくお話しします。さらに、私が実際に取り組んでいる研究の話題も少し交えながら、未解決問題が「遠い世界の話」ではなく、今もなお更新され続けている数学そのものだということを感じてもらえたらと思います。
もしこのセミナーで気になる未解決問題に出会えたら、ぜひ自分の手で考えてみてください。誰も答えを知らない問いを追いかけ続けるおもしろさを、皆さんと一緒に味わえたらうれしいです。数年後、あるいは数十年後に、このセミナーをきっかけに未解決問題を解決する人が現れることを楽しみにしています。
≪講演者プロフィール≫
1997 年神奈川県生まれ。筑波大学附属駒場中・高等学校卒。高校在学時に物理学と数学に興味を持ち、K 会で現代数学を学ぶ。全国物理コンテスト物理チャレンジ2015 で金賞を受賞。その後東京大学へ進学、同大学理学部数学科を経て、同大学大学院数理科学研究科博士課程を修了。2024 年から理化学研究所数理創造研究センター基礎科学特別研究員。
★お申し込みはこちら★
https://www.kawai-juku.ac.jp/event/d202627-3-00045123/
★お問合せ★
K会事務局：03-3813-4581
日・月を除く13:00～19:00の間でお電話を受け付けております。
★春期講習のお申し込みはこちら★
https://www.kawai-juku.ac.jp/apply/
※4月からの学年と、地域「関東」をご選択してください。
今回は春期セミナーのお知らせです！
未解決問題の世界を見てみよう～平面図形に潜む謎～
講演者：小泉淳之介（理化学研究所数理創造研究センター 基礎科学特別研究員）
■日時 4月11日（土）13:00～15:00
■対象 新中学１年生～新高校３年生とその保護者
■料金 無料
■会場 河合塾本郷校
学校の数学の授業では、これまでの人類が発見し、証明してきた定理や公式を学びます。高校までに扱う内容の多くは、主に18 世紀ごろまでに形づくられた数学だと言ってよいでしょう。その一方で、19 世紀以降に加速した数学の発展や、いまなお答えが見つかっていない未解決問題の数々は、授業の中ではあまり触れられません。私自身、いまは研究を始めたばかりの数学者として日々さまざまな問題に向き合っていますが、中高生の頃は数学の世界がここまで広いとは想像できませんでした。
このセミナーでは、皆さんにとっても身近な「平面図形」を切り口に、数え切れないほどの未解決問題の中からいくつかを取り上げて紹介します。たとえば、三角形や四角形の配置、点と点の間の距離、角度や面積といった素朴な問いが、驚くほど難しい問題につながることがあります。あわせて、それぞれの問題に対して数学者たちがどんな道筋で研究を進め、現時点でどこまで分かっているのかなども分かりやすくお話しします。さらに、私が実際に取り組んでいる研究の話題も少し交えながら、未解決問題が「遠い世界の話」ではなく、今もなお更新され続けている数学そのものだということを感じてもらえたらと思います。
もしこのセミナーで気になる未解決問題に出会えたら、ぜひ自分の手で考えてみてください。誰も答えを知らない問いを追いかけ続けるおもしろさを、皆さんと一緒に味わえたらうれしいです。数年後、あるいは数十年後に、このセミナーをきっかけに未解決問題を解決する人が現れることを楽しみにしています。
≪講演者プロフィール≫
1997 年神奈川県生まれ。筑波大学附属駒場中・高等学校卒。高校在学時に物理学と数学に興味を持ち、K 会で現代数学を学ぶ。全国物理コンテスト物理チャレンジ2015 で金賞を受賞。その後東京大学へ進学、同大学理学部数学科を経て、同大学大学院数理科学研究科博士課程を修了。2024 年から理化学研究所数理創造研究センター基礎科学特別研究員。
★お申し込みはこちら★
https://www.kawai-juku.ac.jp/event/d202627-3-00045123/
★お問合せ★
K会事務局：03-3813-4581
日・月を除く13:00～19:00の間でお電話を受け付けております。
★春期講習のお申し込みはこちら★
https://www.kawai-juku.ac.jp/apply/
※4月からの学年と、地域「関東」をご選択してください。
━【「音楽から見る数学16」(元K会生・元K会数学科講師：布施音人) 】━
2026年3月19日 更新
━【「音楽から見る数学16」(元K会生・元K会数学科講師：布施音人) 】━
★このコラムでは、数学と音楽の両方に魅せられてきた筆者が、数学と音楽の共通点を考える中で見えてくる数学の魅力について、筆者なりの言葉でお伝えしていきます★
― AI時代に見えてくる数学/音楽の魅力 ―
こんにちは。元K会数学科講師の布施音人です。
さて、このコラムも今回で16回目となりました。1回目はなんと4年前の2022年6月です。
この間にも世の中は大きく様変わりしました。中でも生成AIの発達には目を見張るものがあります。私たちはすでに、AIモデルが国際数学オリンピックで金メダル相当の成績を収めるようになった世界に住んでいます。音楽生成AIが瞬時に圧倒的な数の楽曲を生成し、それをBGMにした動画などを老若男女がインターネットを介して楽しむようになった世界に住んでいます。どちらも2022年には考えられなかったことです。
このような世界では、自分が数学を学ぶこと、自分が音楽を作り出すことに希望を見出せない人もいるかもしれません。現に私も、この文章を書きながら、AIに書かせずに自分で書くことの意味を考えてしまっています。今回のコラムでは、それに抗う方法を考えながら、その先に見えてくる数学や音楽の不朽の魅力について、私なりの考えを述べたいと思います。
AIに関してどういった事態が起こりうるのか、もう少し深掘りしてみましょう。
たとえば、数学の宿題。証明問題に対して記述式で答えを書いて提出するとします。A君は電子機器を何も使わず、1時間考え、紙とペンだけで答えを書きましたが、証明には欠陥がありました。一方のB君は生成AIに問題を投げ、数十秒後に返ってきた答えを見ながら、日本語の不自然なところだけを直して紙に書き写しました。こちらは証明に欠陥はありませんでした。この場合、単にB君の方が良い評価を得るでしょう。しかし実際はB君は何も理解していないのだとすると、理解度を計るという意味ではこのような宿題は全く意味をなしません。また、社会人として仕事をこなす、という場合には、理解しているかは問われず、完全にB君の方が優秀な人材ということになるかもしれません。
さらに、次のようなケースも考えられます。C君は自分の頭で考えた上で、ものの数分で証明を見出し、それを書き起こして提出し、その証明は合っていました。しかし、証明を導く過程で生成AIの助けを借りたのではないか、とあらぬ疑いをかけられてしまいます。現在はまだ「AIっぽい」文体が世間に広く受け入れられており、ある程度区別もできるかもしれませんが、人の文体は目にした文章の文体に影響されるため、今後は人の文体の方がAIに寄っていくことも考えられ、近い将来、その区別は難しくなっていくのではないかと思います。こちらの方がよほど悲劇のように思います。
すなわち、AIによって人の仕事が奪われるという事態は、単純に人が行っていた作業をAIにやらせるため不要になるという向きと、実際は人力で行った作業もAIが行ったものと見なされてしまうという向きと、両面から進むのだろうと思います。自分で何かを生み出そうとする際に無力感をもたらすのは後者の方でしょう。
この無力感に対抗するにはどうすればよいでしょうか。一つには、過程と結果とが一体となるような形態で発信することが考えられます。たとえば生演奏です。目の前で人が楽器を演奏していれば、そこにAI生成音楽の挿入を疑う余地はありません。数学についても、セミナーあるいは輪読といった、発表中に常に質問を受け付け、それをもとにさらに議論を発展させ、理解を深め合うという形式であれば、生身の人間が集まって数学をやることに意味を見出せるかもしれません。
しかし、演奏を聴いてくれる相手や共演してくれる相手、セミナーを一緒にしてくれる相手が常にいるわけではありません。一人で楽器を練習する時間、一人で数学の勉強をする時間はどのように考えればよいでしょうか。
私は、そのような場合、まず自分自身が自分の「よい観客」になることが大切だと考えています。バッハのピアノ曲を練習しながら、同時にその音楽を味わうこと。オイラーが書き残した証明をノートに整理しながら、同時にその証明の妙を味わうこと。こういった、今ここに人間として生きている自分自身を尊び愛おしむような心のはたらきこそが必要とされるように思います。
そして、数学や音楽は、このような心のはたらきととても親和性があると私は考えます。数学も音楽も、ある面では数学者や演奏家などの個々の人間に密接に関わる形で存在します。しかし一方で、人に属する領域を飛び越え、普遍的な領域、根源的な領域に直結しています。数学的な命題の証明は、どのような場合にも成り立つ恒久的な事実です。人が生み出した音楽は、誰が何と言おうと、その時その場所に存在していた事実です。そこに環境や社会についての外部の判断基準は必要ありません。この性質は、自分自身が自分の「よい観客」となり、自分が考えたことや生み出すものを一歩一歩大切に愛おしむにあたって、この上なく勇気を与えてくれるでしょう。
気がつけばかなり抽象的で曖昧な議論になってしまいました。今回のコラムの内容が妥当か否かはともかく、皆さんが音楽や数学や、その他の興味を持っている事柄を通じて、豊かな人生を送れることを祈っています。
なお、16回にわたってお送りしてきたこのコラムは今回が最終回となります。これまで読んでくださった皆さま、本当にありがとうございました。
★このコラムでは、数学と音楽の両方に魅せられてきた筆者が、数学と音楽の共通点を考える中で見えてくる数学の魅力について、筆者なりの言葉でお伝えしていきます★
― AI時代に見えてくる数学/音楽の魅力 ―
こんにちは。元K会数学科講師の布施音人です。
さて、このコラムも今回で16回目となりました。1回目はなんと4年前の2022年6月です。
この間にも世の中は大きく様変わりしました。中でも生成AIの発達には目を見張るものがあります。私たちはすでに、AIモデルが国際数学オリンピックで金メダル相当の成績を収めるようになった世界に住んでいます。音楽生成AIが瞬時に圧倒的な数の楽曲を生成し、それをBGMにした動画などを老若男女がインターネットを介して楽しむようになった世界に住んでいます。どちらも2022年には考えられなかったことです。
このような世界では、自分が数学を学ぶこと、自分が音楽を作り出すことに希望を見出せない人もいるかもしれません。現に私も、この文章を書きながら、AIに書かせずに自分で書くことの意味を考えてしまっています。今回のコラムでは、それに抗う方法を考えながら、その先に見えてくる数学や音楽の不朽の魅力について、私なりの考えを述べたいと思います。
AIに関してどういった事態が起こりうるのか、もう少し深掘りしてみましょう。
たとえば、数学の宿題。証明問題に対して記述式で答えを書いて提出するとします。A君は電子機器を何も使わず、1時間考え、紙とペンだけで答えを書きましたが、証明には欠陥がありました。一方のB君は生成AIに問題を投げ、数十秒後に返ってきた答えを見ながら、日本語の不自然なところだけを直して紙に書き写しました。こちらは証明に欠陥はありませんでした。この場合、単にB君の方が良い評価を得るでしょう。しかし実際はB君は何も理解していないのだとすると、理解度を計るという意味ではこのような宿題は全く意味をなしません。また、社会人として仕事をこなす、という場合には、理解しているかは問われず、完全にB君の方が優秀な人材ということになるかもしれません。
さらに、次のようなケースも考えられます。C君は自分の頭で考えた上で、ものの数分で証明を見出し、それを書き起こして提出し、その証明は合っていました。しかし、証明を導く過程で生成AIの助けを借りたのではないか、とあらぬ疑いをかけられてしまいます。現在はまだ「AIっぽい」文体が世間に広く受け入れられており、ある程度区別もできるかもしれませんが、人の文体は目にした文章の文体に影響されるため、今後は人の文体の方がAIに寄っていくことも考えられ、近い将来、その区別は難しくなっていくのではないかと思います。こちらの方がよほど悲劇のように思います。
すなわち、AIによって人の仕事が奪われるという事態は、単純に人が行っていた作業をAIにやらせるため不要になるという向きと、実際は人力で行った作業もAIが行ったものと見なされてしまうという向きと、両面から進むのだろうと思います。自分で何かを生み出そうとする際に無力感をもたらすのは後者の方でしょう。
この無力感に対抗するにはどうすればよいでしょうか。一つには、過程と結果とが一体となるような形態で発信することが考えられます。たとえば生演奏です。目の前で人が楽器を演奏していれば、そこにAI生成音楽の挿入を疑う余地はありません。数学についても、セミナーあるいは輪読といった、発表中に常に質問を受け付け、それをもとにさらに議論を発展させ、理解を深め合うという形式であれば、生身の人間が集まって数学をやることに意味を見出せるかもしれません。
しかし、演奏を聴いてくれる相手や共演してくれる相手、セミナーを一緒にしてくれる相手が常にいるわけではありません。一人で楽器を練習する時間、一人で数学の勉強をする時間はどのように考えればよいでしょうか。
私は、そのような場合、まず自分自身が自分の「よい観客」になることが大切だと考えています。バッハのピアノ曲を練習しながら、同時にその音楽を味わうこと。オイラーが書き残した証明をノートに整理しながら、同時にその証明の妙を味わうこと。こういった、今ここに人間として生きている自分自身を尊び愛おしむような心のはたらきこそが必要とされるように思います。
そして、数学や音楽は、このような心のはたらきととても親和性があると私は考えます。数学も音楽も、ある面では数学者や演奏家などの個々の人間に密接に関わる形で存在します。しかし一方で、人に属する領域を飛び越え、普遍的な領域、根源的な領域に直結しています。数学的な命題の証明は、どのような場合にも成り立つ恒久的な事実です。人が生み出した音楽は、誰が何と言おうと、その時その場所に存在していた事実です。そこに環境や社会についての外部の判断基準は必要ありません。この性質は、自分自身が自分の「よい観客」となり、自分が考えたことや生み出すものを一歩一歩大切に愛おしむにあたって、この上なく勇気を与えてくれるでしょう。
気がつけばかなり抽象的で曖昧な議論になってしまいました。今回のコラムの内容が妥当か否かはともかく、皆さんが音楽や数学や、その他の興味を持っている事柄を通じて、豊かな人生を送れることを祈っています。
なお、16回にわたってお送りしてきたこのコラムは今回が最終回となります。これまで読んでくださった皆さま、本当にありがとうございました。
★春期講習のお知らせパート３★
2026年3月15日 更新
みなさんこんにちは。K会事務局です！
＼春期講習2タームの講座は3月24日が申込期日です／
・数学講座入門～新中1生対象～
・数学オリンピックに学ぶ証明問題の考え方
・天文学を概観する
・情報科学講座入門～新中１生対象～
・整数
・物理学入門
・数理生物学入門
・数列
・英語で読む日本の古典
・統計力学入門
・統一的に捉える地学と地理学
※講座内容・実施日時はこちらから
どの講座も5名～15名ほどの少人数授業です！
講師の先生がみなさんの様子を見ながら、困った時は丁寧に、先に進めそうなときは＋αの問題を出すなどきめ細かく対応してくださいます。
せっかくの少人数制の授業なので興味のある話題や、知りたいことがあればみなさんからも遠慮なく講師の先生に伝えてくださいね。
時にはそんな寄り道が新しい知識を得るきっかけや、視野が広がる良い時間になります！
★お問合せ★
K会事務局：03-3813-4581
日・月を除く13:00～19:00の間でお電話を受け付けております。
★春期講習のお申し込みはこちら★
https://www.kawai-juku.ac.jp/apply/cgd/?area=3&grade=32
※4月からの学年と、地域「関東」をご選択してください。
＼春期講習2タームの講座は3月24日が申込期日です／
・数学講座入門～新中1生対象～
・数学オリンピックに学ぶ証明問題の考え方
・天文学を概観する
・情報科学講座入門～新中１生対象～
・整数
・物理学入門
・数理生物学入門
・数列
・英語で読む日本の古典
・統計力学入門
・統一的に捉える地学と地理学
※講座内容・実施日時はこちらから
どの講座も5名～15名ほどの少人数授業です！
講師の先生がみなさんの様子を見ながら、困った時は丁寧に、先に進めそうなときは＋αの問題を出すなどきめ細かく対応してくださいます。
せっかくの少人数制の授業なので興味のある話題や、知りたいことがあればみなさんからも遠慮なく講師の先生に伝えてくださいね。
時にはそんな寄り道が新しい知識を得るきっかけや、視野が広がる良い時間になります！
★お問合せ★
K会事務局：03-3813-4581
日・月を除く13:00～19:00の間でお電話を受け付けております。
★春期講習のお申し込みはこちら★
https://www.kawai-juku.ac.jp/apply/cgd/?area=3&grade=32
※4月からの学年と、地域「関東」をご選択してください。
★小学生のための数学講座★
2026年3月10日 更新
みなさんこんにちは。K会事務局です！
＼小学生のための数学講座まもなく開講／
この講座は「算数が大好き」「早く算数の世界が知りたい」という小学生のみなさんに向けた講座です。
小学校の算数や、中学受験のための算数から飛び出して、ひと足先に本格的な数学の世界を一緒に冒険しましょう！
算数を一通り学ばれた方（独学でも構いません）であれば、学年を問わずご受講いただけます。
例年、新小学４年生から新小学6年生の方を中心に10名～15名ほどのクラスになります。
「難し～」と言いながら熱心に問題に向き合う姿や、「この定理美しい～」なんて感嘆の声があがるのは算数・数学が大好きな生徒さんが集まるこの講座ならではです。
なお、この講座は４月～７月にかけて全8回の実施となりますが、お申し込みは各回ごとに受け付けております。
ついていけるか不安に思われている方は、まず第１回の「文字式／対数」のみをお申込みいただき、講座のレベルが合うかどうかを確かめてください！
とはいえ、この講座は数学の世界をいち早く知って頂き、その魅力を体験していただくことを目的にした講座です。
問題が解ける・解けないは気にせずに「数学ってこんなことができるんだ」「数学はこんな風に使われているんだ」と知ること自体を楽しんでください！
みなさんと一緒に、数学の世界を探検できる日を心待ちにしております♪
★小学生のための数学講座の詳細・お申込み★
詳細はこちら
お申込みはこちら
★お問合せ★
K会事務局：03-3813-4581
日・月を除く13:00～19:00の間でお電話を受け付けております。
★春期講習のお申し込みはこちら★
https://www.kawai-juku.ac.jp/apply/cgd/?area=3&grade=32
※4月からの学年と、地域「関東」をご選択してください。
＼小学生のための数学講座まもなく開講／
この講座は「算数が大好き」「早く算数の世界が知りたい」という小学生のみなさんに向けた講座です。
小学校の算数や、中学受験のための算数から飛び出して、ひと足先に本格的な数学の世界を一緒に冒険しましょう！
算数を一通り学ばれた方（独学でも構いません）であれば、学年を問わずご受講いただけます。
例年、新小学４年生から新小学6年生の方を中心に10名～15名ほどのクラスになります。
「難し～」と言いながら熱心に問題に向き合う姿や、「この定理美しい～」なんて感嘆の声があがるのは算数・数学が大好きな生徒さんが集まるこの講座ならではです。
なお、この講座は４月～７月にかけて全8回の実施となりますが、お申し込みは各回ごとに受け付けております。
ついていけるか不安に思われている方は、まず第１回の「文字式／対数」のみをお申込みいただき、講座のレベルが合うかどうかを確かめてください！
とはいえ、この講座は数学の世界をいち早く知って頂き、その魅力を体験していただくことを目的にした講座です。
問題が解ける・解けないは気にせずに「数学ってこんなことができるんだ」「数学はこんな風に使われているんだ」と知ること自体を楽しんでください！
みなさんと一緒に、数学の世界を探検できる日を心待ちにしております♪
★小学生のための数学講座の詳細・お申込み★
詳細はこちら
お申込みはこちら
★お問合せ★
K会事務局：03-3813-4581
日・月を除く13:00～19:00の間でお電話を受け付けております。
★春期講習のお申し込みはこちら★
https://www.kawai-juku.ac.jp/apply/cgd/?area=3&grade=32
※4月からの学年と、地域「関東」をご選択してください。
★春期講習のお知らせパート２★
2026年3月1日 更新
みなさんこんにちは。K会事務局です！
＼春期講習１タームの講座は3月19日が申込期日です／
・数学講座入門～新中２・新中３生対象～
・フェルマーとオイラー
・Raspberry Piで学ぶ情報システム
・作って実験！言語の構造と機能～人工言語制作ワークショップ～
※講座内容・実施日時はこちらから
K会の講座は受験勉強や受講学年にとらわれずに、ご自身の興味や関心、お持ちの知識に合わせてご受講いただけます。
例えば、同じ『数列』という講座をみても……
●公立中学校の新中２生⇒数学が大好き。自分で高校数学まで勉強中。先取りをかねて受講。
●中高一貫校の新高２生⇒数学は苦手。復習と定着を兼ねて受講。
●インターナショナルスクールGrade10⇒日本語で数列を学習したいと受講。
●中高一貫校の新中３生⇒ちょうどスケジュールが空いていた。高校受験もないから、好きな数学の中で面白そうだからと受講。
など受講理由は人それぞれです。
春期講習は大学で学ぶような専門性の高い内容を扱う講座や、科学オリンピック対策講座、教科横断講座などみなさんの知的好奇心を刺激するカリキュラムをたくさんご用意しています。
たまには、興味のあることや好きなことをとことん学んでみませんか？
受験勉強にとらわれない、知的好奇心をベースにしたK会での学びは、みなさんの視野を広げ、知らなかった可能性を見つける、そんな「気づき」の場になるでしょう。
★お問合せ★
K会事務局：03-3813-4581
日・月を除く13:00～19:00の間でお電話を受け付けております。
★春期講習のお申し込みはこちら★
https://www.kawai-juku.ac.jp/apply/cgd/?area=3&grade=32
※4月からの学年と、地域「関東」をご選択してください。
＼春期講習１タームの講座は3月19日が申込期日です／
・数学講座入門～新中２・新中３生対象～
・フェルマーとオイラー
・Raspberry Piで学ぶ情報システム
・作って実験！言語の構造と機能～人工言語制作ワークショップ～
※講座内容・実施日時はこちらから
K会の講座は受験勉強や受講学年にとらわれずに、ご自身の興味や関心、お持ちの知識に合わせてご受講いただけます。
例えば、同じ『数列』という講座をみても……
●公立中学校の新中２生⇒数学が大好き。自分で高校数学まで勉強中。先取りをかねて受講。
●中高一貫校の新高２生⇒数学は苦手。復習と定着を兼ねて受講。
●インターナショナルスクールGrade10⇒日本語で数列を学習したいと受講。
●中高一貫校の新中３生⇒ちょうどスケジュールが空いていた。高校受験もないから、好きな数学の中で面白そうだからと受講。
など受講理由は人それぞれです。
春期講習は大学で学ぶような専門性の高い内容を扱う講座や、科学オリンピック対策講座、教科横断講座などみなさんの知的好奇心を刺激するカリキュラムをたくさんご用意しています。
たまには、興味のあることや好きなことをとことん学んでみませんか？
受験勉強にとらわれない、知的好奇心をベースにしたK会での学びは、みなさんの視野を広げ、知らなかった可能性を見つける、そんな「気づき」の場になるでしょう。
★お問合せ★
K会事務局：03-3813-4581
日・月を除く13:00～19:00の間でお電話を受け付けております。
★春期講習のお申し込みはこちら★
https://www.kawai-juku.ac.jp/apply/cgd/?area=3&grade=32
※4月からの学年と、地域「関東」をご選択してください。
★プログラミング無料体験★
2026年2月22日 更新
みなさんこんにちは。K会事務局です！
今回はプログラミング無料体験のご紹介です
3月8日15:30～17:00
プログラミング無料体験
この体験は、コードを書くプログラミングの経験がない方を対象としています。
学年は問わず新中学１から新高校３年生の方であればどなたでも歓迎いたします！
コードを「書く」プログラミングとは？と思う方もいらっしゃるかもしれません。
たとえばですが、オセロのゲームを作ることをイメージしましょう。
まず、道具として白と黒の丸い石や、その石を配置する64マスの盤面が必要です。
そして白石・黒石・白石のような配列になった時、間の黒石は白石になるというようなルールも必要ですね。
point(X,Y)⇒(X,Y)に点を書く
line(X0,Y0,X1,Y1)⇒(X0,Y0,)から(X1,Y1)に線を引く
ellipse(X,Y,W,H)⇒(X,Y)を中心に幅W、高さHの円を書く
丸い石や、四角い盤面を書く時はこのようにコードを書いて、コンピュータに図形を描いてもらいます。
これに加えて、色をつけるコードやゲームのルールのコードを書くとコンピュータ上にオセロのゲームが出来上がります。
つまりプログラムを書く、というのはコンピュータがわかる言葉で、コンピュータにしてもらいたい指示を与えるということです。
難しそうだなと思うかもしれませんが、自分の思った通りにコンピュータが動いてくれた時の感動はひとしおです。
基本を理解すれば、ボールを当ててブロックを崩すゲームをつくったり、複雑な計算の答えを即座にコンピュータに計算してもらったりと、さまざまなことができるようになります。
90分の体験では複雑なプログラムは組めませんが、何よりも書いたコードが「動く」楽しさを味わっていただけるような教材を準備しています。
体験で使用するProcessingをはじめとした環境は、すべて無料でインストールできるものを使っているのもポイントです。
この体験をきっかけにご自身のPCに環境を整えて、プログラミングに親しんでいただけると嬉しいです！
★お申し込みはこちらから★
※3月5日以降のお申し込みは、お電話でお問い合わせください。
★お問合せ★
K会事務局：03-３813-4581
日・月を除く13:00～19:00の間でお電話を受け付けております。
今回はプログラミング無料体験のご紹介です
3月8日15:30～17:00
プログラミング無料体験
この体験は、コードを書くプログラミングの経験がない方を対象としています。
学年は問わず新中学１から新高校３年生の方であればどなたでも歓迎いたします！
コードを「書く」プログラミングとは？と思う方もいらっしゃるかもしれません。
たとえばですが、オセロのゲームを作ることをイメージしましょう。
まず、道具として白と黒の丸い石や、その石を配置する64マスの盤面が必要です。
そして白石・黒石・白石のような配列になった時、間の黒石は白石になるというようなルールも必要ですね。
point(X,Y)⇒(X,Y)に点を書く
line(X0,Y0,X1,Y1)⇒(X0,Y0,)から(X1,Y1)に線を引く
ellipse(X,Y,W,H)⇒(X,Y)を中心に幅W、高さHの円を書く
丸い石や、四角い盤面を書く時はこのようにコードを書いて、コンピュータに図形を描いてもらいます。
これに加えて、色をつけるコードやゲームのルールのコードを書くとコンピュータ上にオセロのゲームが出来上がります。
つまりプログラムを書く、というのはコンピュータがわかる言葉で、コンピュータにしてもらいたい指示を与えるということです。
難しそうだなと思うかもしれませんが、自分の思った通りにコンピュータが動いてくれた時の感動はひとしおです。
基本を理解すれば、ボールを当ててブロックを崩すゲームをつくったり、複雑な計算の答えを即座にコンピュータに計算してもらったりと、さまざまなことができるようになります。
90分の体験では複雑なプログラムは組めませんが、何よりも書いたコードが「動く」楽しさを味わっていただけるような教材を準備しています。
体験で使用するProcessingをはじめとした環境は、すべて無料でインストールできるものを使っているのもポイントです。
この体験をきっかけにご自身のPCに環境を整えて、プログラミングに親しんでいただけると嬉しいです！
★お申し込みはこちらから★
※3月5日以降のお申し込みは、お電話でお問い合わせください。
★お問合せ★
K会事務局：03-３813-4581
日・月を除く13:00～19:00の間でお電話を受け付けております。
