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講座詳細 数学講座案内 | 講座案内・時間割 | K会

各講座の受講目安や学習内容についてご案内します。

中学・高校・大学で区切られている学習範囲の壁を取り払い、関連する内容を系統的にまとめて扱います。

M1(K会1年目/中高数学①)

受講目安

K会1年目のカリキュラムです。中学生の方はこの講座からの受講をお勧めします。

1学期

K会最初のこの講座では、「代数」と「幾何」という2つの分野の入門を扱います。代数では、これから数学を学ぶ上で基礎となる論理的な記述や推論の仕方、集合についての知識を最初に身に付けた後、負の数や平方根、複素数といった新しい数を学習していきます。新たな数の計算に慣れるとともに、各々の数の体系で成り立つ法則を統一的に記述することの重要性を感じ取っていきましょう。また論理的思考の訓練は、今後の学習をより実りあるものにします。一方幾何では、三角形や円といった身近な図形を通して、長さや角に関するさまざまな性質が基本的事実から論証によって導かれていくさまを体験していきます。主張が複雑になり、明らかと思えなくなっていくにつれて、着実に正確な論証を積み重ねることの大切さが実感されることでしょう。授業に楽しく積極的に取り組むことで、数学の世界への大きな第一歩を踏み出しましょう。

[代数1] 論理・集合/整数/有理数/実数/ルート/複素数/行列
[幾何1] 直線と角/合同/相似/ピタゴラスの定理/円

2学期

代数のテーマは文字式です。文字式の計算、特に展開・因数分解は数学では最も基本的な技術の1つですから、確実に習得していきましょう。また後半では方程式を解いていきます。これは値のわからない数があるときに、それが満たすべき等式からその値を求めるというものです。方程式が解けるようになることで、今後さまざまな場面で、未知の量を求める問題をその量が満たす等式を求めることに帰着することができます。解析ではまず現代数学における「共通語」ともいうべき写像の概念を学習します。次に写像の特殊なケースである関数に焦点を絞り、2次関数・三角関数・指数関数などの、数学において重要な関数について学んでいきます。またこれらの関数について、グラフという図形を描いて関数の様子を視覚的に捉え、理解を深めていきます。どちらのテーマも今後より進んだ数学を学ぶ上で大切な基礎となりますから、この機会にしっかりと身に付けてしまいましょう。

[代数2] 多項式とその展開/因数分解/多項式の除法と因数定理/有理式/1次方程式/2次方程式/高次方程式/解と係数の関係
[解析1] 写像・関数/関数のグラフ/いろいろな関数/不等式

3学期

代数では、数をある規則に従って並べたものである数列がテーマとなります。数列について主に問題となるのは、最初の数から順々に次の数を計算していく方法がわかっているときに、途中の数を計算しなくてもn番目の数が直接得られるようなnの式を求めることです。授業では数列の母関数という道具を用いてこの問題に取り組みます。幾何では、座標平面という新しい幾何学の舞台を導入し、初等幾何の主役であった点・直線・円といった図形やそれらの関係を座標の言葉に翻訳していきます。座標の利点としては、ひらめきが必要な幾何の問題を機械的な計算で解けるということが挙げられます。さらに、座標は図形的直感に頼らない幾何学の基礎付けを与えるとも考えられ、理論的にも大変重要な概念です。以後の幾何学は座標の概念をもとにして展開しますので、その扱い方をしっかりと身に付けておきましょう。

[代数3] 数列/数列の和/形式的べき級数/漸化式/ベルヌーイ数
[幾何2] 座標平面/直線の方程式/円の方程式/初等幾何への応用/平面幾何の定式化

M2(K会2年目/中高数学②)

受講目安

原則としてK会2年目の方を対象としますが、それ以外の方でも学習の進み具合によっては受講可能です。詳しくはご相談ください。

1学期

解析の講座では、限りなく近づくことの数学的な定式化である極限について学びます。極限は、数列の十分先での様子や関数のある点の周りでの様子を調べるときに有用な概念で、微積分学にとっても欠かすことのできない重要なものです。極限は、乱暴な議論をすると誤った結論を導きかねない危険をはらんでいます。この講座で極限に対する適切な感覚を身に付け微積分学を学ぶ足場を固めましょう。幾何では先学期に導入した座標平面についての発展的な話題を扱います。前半では回転などの操作が座標を用いてどう表されるかを学習した後、楕円・双曲線・放物線という新たな図形の性質を調べます。後半では座標の考え方を空間に応用して、空間内の点と実数の3つ組が対応することを見ます。さらに組をなす実数の個数を増やして高次元空間を作るのは自然な発想でしょう。座標という道具によってそれまでの幾何学観が塗り替えられていく様子を楽しみましょう。

[解析2] 数列の極限/無限級数/関数の極限/連続関数
[幾何3] 平面変換/2次曲線/座標空間/高次元空間

2学期

解析では、関数の性質を調べる上で基本的な道具となる微分と積分を扱います。まず、関数に代入する値を微小に変化させたときの変化率を表す量として微分を定義し、その後さまざまな具体的な関数についてその微分を計算する方法を学びます。さらに、関数に対してそのグラフの面積を与える操作である積分が、微分の逆の操作になっていることを示します。核となる基本的な事実の理解と、具体的な計算の両方により微積分の初歩を習得できるでしょう。幾何ではベクトルを扱います。図形を調べる手段として座標平面は有効なものでしたが、座標の枠組みをいったん忘れ、「向きと長さ」に注目した量がベクトルです。これにより図形の方程式をよりシンプルに捉えることができ、また平面や空間についての統一的な記述が可能になります。この視点を通して自然に「線形性」の概念が姿を現します。講座の後半ではこの「線形性」に焦点を当てた議論が展開されます。

[解析3] 微分の定義/関数の増減と微分/関数の多項式近似/リーマン和と積分/微積分学の基本定理
[幾何4] ベクトル/線形性/内積・外積/座標とベクトル/図形の方程式/線形変換と行列

3学期

代数では行列について詳しく学習します。行列の和・積などについて復習した後、一般の正方行列に対して行列式を定義し、基本変形を用いた逆行列の計算方法や連立方程式の処理方法を扱います。また、線形変換と行列との対応をより深く考察し、線形変換を見やすい表示にするために適切な基底を選ぶことに対応する行列の対角化を学びます。対角化は行列のべき乗を計算するときにも役立つ重要な操作です。解析では微積分の応用を扱います。まず部分積分・置換積分といった積分計算の技法を学んで基礎を固めた後、積分の直接的な応用として立体の体積や曲線の弧長を計算します。さらに、自然現象を記述する上で必要な微分方程式を学習し、応用としてニュートン力学の初歩および「関数の関数」の「極値」を求める変分法を学びます。微積分が幅広い応用を持つことが感じられるでしょう。

[代数4] 行列の演算/行列式/逆行列/連立方程式と行列/線形写像と行列/行列の対角化
[解析4] 部分積分/置換積分/体積・弧/微分方程式/質点の力学/多変数関数の微分

現代数学1(K会3年目)

受講目安

原則としてK会3年目の方、または、高校数学について一通り理解している方を対象とします。詳しくはご相談ください。

1学期~2学期

この講座では、これまでで学んだ数学の一般化や抽象化がテーマとなります。『微分学』では、解析学の基礎である極限の概念を位相空間、ノルム空間といったより広い枠組みで捉え、その新しい舞台で微分の理論を展開していきます。一変数関数を扱うだけでは見えてこなかった驚くほど豊かな解析学の世界に足を踏み入れましょう。『代数入門』は、これまでの数学で出会ってきた演算の持つ性質を抽出し、環とその上の加群という形で整理するところから始まります。ベクトルやその間の線型変換が、代数学の枠組みの中で非常に見通しの良い形で構築し直される様子は圧巻でしょう。今回学ぶ内容は、高校数学のより深い理解をもたらし、同時に新たな数学的問題意識を生み出していきます。あらゆる数学にとって重要である論理的な考え方を身に付け、美しい現代数学の理論への扉を開いていきましょう。

[微分学] 実数と完備性/距離空間/位相空間/コンパクト性/ノルム空間と微分/偏微分/陰関数定理・逆関数定理
[代数入門] 環と加群/部分加群・剰余加群/完全系列/対角化/普遍性と圏/テンソル積・外積

2学期~3学期

『積分学』では、まず部分集合の大きさを測れる付加構造を持った集合として測度空間を導入し、その上の関数に対する積分であるLebesgue積分の理論を構築します。Lebesgue積分は、極限操作との相性が良いなど理論的に取扱いやすく、また、積分できる対象が一般化されて解析できる対象が拡がるという魅力があります。後半部分ではC1同相での変数変換による積分値の変化や常微分方程式の解の存在など、先学期に学んだ微分との関係を調べます。『Galois理論』で学ぶのは、もともと高次方程式の解法の探求から発展した体の拡大の理論をさらに現代的で高い見地から整理したものです。ここでは方程式の解の様子を環の直積分解の仕方によって捉えたり、異なる対象の間の対応関係を適当な圏の間の関係によって記述したりという現代数学ならではの視点がその真価を発揮します。美しい結果が明快に述べられる様子を堪能してください。

[積分学] 測度空間/Lebesgue積分/Lp空間/Lebesgueの収束定理/Lebesgue測度/Fubiniの定理/微積分学の基本定理/変数変換公式/常微分方程式
[Galois理論] 拡大体/有限K代数の構造/底変換関手/忠実平坦降下/Galois降下/Galois理論/エタールK代数/代数閉包/ 絶対Galois理論

現代数学2(K会4年目)

受講目安

原則として「現代数学1」を受講された方を対象とします。詳しくはご相談ください。

1学期

『多様体論』では、現代的な幾何学を展開する土台となる「図形」の概念を学びます。多様体はユークリッド空間の開集合を貼り合わせて定義される図形であり、その上で微積分学を展開することができます。講座の前半では、多様体の射に対する微分の定義を与え、それを用いてさまざまな射の性質を調べていきます。後半では、多様体上で微積分学の基本定理を得るにはどうすればよいかを考えていきます。『複素解析学』は、複素変数の関数の微分を定義することから始まります。その定義は実変数の場合とほぼ同じものですが、実際に理論を作ってみると、実変数の場合にはない強い性質が現れてきます。たとえば、微分可能な関数は無限回微分可能になるということや周上の関数値から内部の関数値が求められるということが挙げられます。後半では複素解析学の結果を、実関数の定積分の計算などに応用していきます。

[多様体論] 位相多様体/多様体/接空間/多様体間の射の諸性質/ベクトル束/微分形式/Stokesの定理
[複素解析学] 複素微分/初等関数/Cauchyの積分定理/Laurent展開/留数定理

2学期~3学期

この講座では現代数学のより深い理論へと進んでいきます。『代数的整数論』では、代数体の整数環(有理数体における整数の拡張)について調べることを目標とします。ここでは環論的視点からDedekind整域という環のクラスに注目して、その素イデアル分解の理論(素因数分解の拡張)や有限生成加群の構造などを考察していきます。後半では、Galois理論と組み合わせて、円分体の分解法則という整数の興味深い性質が明らかになります。『層とコホモロジー』では、位相空間に対してアーベル群を対応させる層係数コホモロジーの理論を学びます。コホモロジーは図形(幾何学的対象)の性質を代数の言葉に翻訳する道具です。コホモロジーを用いることで、Brouwerの不動点定理をはじめとするさまざまな図形の性質が示されます。整数と図形という素朴な対象の先に展開されていく、現代数学の精密な理論をぜひ楽しんでください。

[代数的整数論] 代数体の整数環/Dedekind整域と素イデアル分解/Galois群と素イデアル/円分体の分解法則
[層とコホモロジー] アーベル圏/層/Godement分解と層係数コホモロジー/Mayer-Vietoris完全系列/ホモトピー不変性

現代数学3(K会5年目)

受講目安

原則として「現代数学2」を受講された方を対象とします。詳しくはご相談ください。

1学期

『微分幾何とコホモロジー』では、多様体の各点における「曲がり具合」から決まる微分形式の積分として、位相多様体の不変量が得られるという、Gauss-Bonnetの定理を目標とします。これは局所的情報と大域的情報を結びつけている点でも、解析的に定義される量が実は位相構造だけから決まるという点でも深い定理です。解析的情報と位相的不変量を結びつける際には、微分形式を用いたコホモロジー論であるde Rhamコホモロジーが中心的役割を果たします。『解析的整数論』では、代数体の乗法構造とイデアル群の差を記述するイデアル類群と単数群を詳しく調べます。特にイデアル類群の位数を表す類数公式を目標とします。これらの群を調べることは代数の範疇の問題に見えますが、代数体に付随するζ関数、L関数といった複素関数を考えることで解析的に調べることができます。異なる世界の間に結びつきを見出すことは現代数学の醍醐味の1つです。これらの題材を通して現代数学の魅力を堪能しましょう。
[微分幾何とコホモロジー] 接続と曲率/測地線と管状近傍/de Rhamコホモロジー/de Rhamの定理/Euler類とThom類 /Gauss-Bonnetの定理
[解析的整数論] イデアル類群/単数群/Dirichletの単数定理/Dedekindζ関数/関数等式/L関数/類数公式

2学期

<開講例/スキーム論・代数曲線論など>

この講座では代数幾何学と呼ばれる分野への入門を行います。簡単に言えば、代数幾何学とは多項式の根の集合を幾何学的に研究する学問です。
スキームの理論によって、根の集合にある主の多様体構造(代数多様体の構造)を与えることができます。根の集合を座標空間の部分集合として扱うのではなく、一つの空間として見ることで、より柔軟な幾何学を展開することが可能になります。
そこで、この講座の前半の『スキーム論』ではスキーム論の基礎を学び、後半の『代数曲線論』では代数幾何学の1次元の対象(代数曲線)を調べます。これまで学んできたものとは異なる趣を持つ幾何学を味わいましょう。

※現代数学3は2学期で修了となります。

数学の楽しさ1(K会3年目/中高数学・発展①)

受講目安

原則としてK会3年目の方、または、中学数学について一通り理解している方を対象とします。詳しくはご相談ください。

1学期

この講座で学ぶ多項式は、数学の代数分野における基本的な対象です。「ある数を2乗して1を足す」という操作を文字xを用いてx2+1という多項式で表し、こういった多項式に対して和・積などの演算を考えることが代数学の第一歩となります。多項式を導入してすぐ生じる素朴な、しかし奥の深い疑問として、多項式も文字に数を代入したとき、それが特定の値をとるのはどういう場合かというもの、あるいは2つの多項式に対し、その文字に数を代入したときにそれらの大小はどうなるかというものがあります。これらが方程式と不等式です。この講座では方程式や不等式を解くことを主目的とします。解法を 理解し演習を積むことで、これらを自分のものにしていきましょう。応用・拡大では、過去の天才たちが方程式を解こうという試行錯誤の過程で生み出してきたさまざまな概念・定理を説明し、代数学の厚みを紹介していきます。代数学という世界に一歩踏み出してみましょう。

[テーマ] 論理/多項式の展開/因数分解/多項式の除法/因数定理/複素数/方程式/解と係数の関係/不等式

2学期

この講座では、前半で数列を、後半で場合の数・確率を扱います。数列とは、一定の規則で数が並んだもののことです。「各項は直前の2項の和である」というように、連続したいくつかの項についての規則を表す式を漸化式といいます。漸化式が具体的に与えられたときに一般の項を求める方法を学ぶことが前半の最大のテーマとなります。これは後半や他の分野の応用問題としても頻繁に現れる大切な技術ですから、さまざまなパターンに分けて整理することで解法を着実に身に付けていきましょう。場合の数・確率では「ものを数える」という作業がテーマです。一見それは単純な作業ですが、上手い考え方をすることで驚くほど効率がよくなる場合もあります。多くの例を通してそのような考え方を習得していきましょう。応用・拡大では、一見すると途方に暮れてしまうような数列・場合の数の問題を母関数という道具を用いて解くなど、楽しいテーマを多数扱います。

[テーマ] 数列/数列の和/漸化式/集合/場合の数/順列・組み合わせ/確率/条件付き確率/確率変数

3学期

関数とは、各実数に実数を対応させる規則のことです。関数にはいろいろなものがありますが、そのうちいくつかの種類のものは、数学のあらゆる分野に現れるだけでなく、物体の運動や物質の反応などさまざまな自然現象を記述する際にも頻繁に登場します。この講座で扱う多項式関数、有理・無理関数、指数・対数関数などは全てそのような重要な関数の一つであり、これらの関数の性質を理解することは自然科学を学ぶ上でとても大切です。授業では、関数に関する一般的な諸概念について整理して関数について学ぶ基礎固めをした後、それぞれの関数について調べていきます。関数をグラフとして視覚的に表したり、具体的な計算を繰り返していくうちに、自然とその関数の性質が身に付いていくはずです。講座が終わる頃にはこれらの関数を手に取るように自在に扱うことができるようになるでしょう。

[テーマ] 関数の基本概念/2次関数/解の配置/有理関数/無理関数/指数関数/対数関数

数学の楽しさ2(K会4年目/中高数学・発展②)

受講目安

原則として「数学の楽しさ1」を受講された方を対象とします。詳しくはご相談ください。

1学期

平面図形がテーマであるこの講座では、前半と後半でそれぞれ初等幾何、座標幾何という異なる方法で図形を考察します。前半では、三角形や円の性質を、中学校で学んだ内容にもう一歩踏み込んで調べていきます。図形の扱いに慣れたところで、今度は角度に対して実数を対応させる三角関数を学びます。三角関数は図形の計量に便利なだけでなく、関数としても指数・対数関数などと並んで高校数学で重要な位置を占めるものです。公式には覚えにくいものもありますが、この機会にぜひマスターしましょう。三角関数の後は座標平面の登場です。座標を用いると、平面上の直線や円は方程式で表すことができ、幾何学的考察を排して文字式の計算で図形を調べられるようになります。またこれは、来学期により広い範囲の図形を扱うための出発点ともなっているのです。それぞれの扱い方の特徴を把握することで、平面図形の問題に臨機応変に対処できる力を身に付けましょう。

[テーマ] 三角形/円/空間図形/三角関数/座標平面/座標平面上の図形

2学期

平面上の図形は座標によって表すことができます。これまでは平面上の直線や円の方程式を考えてきましたが、この講座ではそれらで囲まれた領域を不等式で表す方法や、図形を形を保ったまま移動させたときその方程式はどう変わるかなど、よりさまざまな図形と座標との関係を考えていきます。図形を座標で扱うことで、軌跡を求めるといった幾何学的問題が数式の変形に帰着できるようになり、座標平面の力を十分に味わえることでしょう。講座の後半では2次曲線を扱います。2次曲線とは、その方程式が2次式を用いて表されるような曲線のことで、結果として3種類の曲線に分類されます。既知の図形を座標で取り扱うことから脱却して、方程式の形を決めて、それがどのような図形を表すのかを考えていくのです。座標平面を使った世界の拡がりをぜひ実感してみてください。

[テーマ] 座標平面の復習/図形の移動/領域と不等式/軌跡/2次曲線

3学期

関数の値がどのように変化するかということは、関数を調べる上で重要な情報の一つです。この講座では、関数の変化率を表す微分法を導入し、その計算に慣れることを主な目標とします。授業は、微小な変化量を扱うために必要となる極限という概念の導入から始まります。「限りなく近づく」ということの定式化である極限は、油断すると間違った直感に頼って誤った結果を導いてしまう危険をはらんでおり、それ自身とても重要な分野です。極限に慣れ親しんだ後はいよいよ微分の登場です。その定義は関数の変化率を調べるという観点から見ると自然なものであり、いくつかの性質の成立もそこから感覚的に納得できることでしょう。来学期に学ぶ微分の実用的な応用を前に、問題演習を通してその基礎を固め、微分を自由自在に使いこなせるようになってください。

[テーマ] 数列の極限/関数の極限/微分/積・商・合成関数の微分/三角・指数・対数関数の微分

数学の楽しさ3(K会5年目/中高数学・発展③)

受講目安

原則として「数学の楽しさ2」を受講された方を対象とします。詳しくはご相談ください。

1学期~2学期

最後となるこの講座では微分・積分とベクトル・行列を扱います。これらの分野は、より高度な数学の基礎になるため、大学でも重点的に学びます。部分積分や置換積分といった積分の計算方法、空間図形をベクトルや座標空間を用いて調べる方法を問題演習により学ぶとともに、微分・積分やベクトル・行列を用いて展開される大学の数学の一端も発展事項として扱います。

[1学期] 微分の応用・積分 [2学期]ベクトル・行列

※数学の楽しさ3は2学期で修了となります。

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