スタッフからのお知らせK会本郷教室

━【現代数学の視座と眺望№4(Ｋ会元数学科講師：立原礼也) 】━
★「現代数学」、つまり大雑把には「大学の数学科レベルの数学」は、中高で習う数学と地続きに繋がっていながらも、様々な面で、全く新しい考え方に基づくものでもあります。筆者が数学を専攻することに決めたのも、この新しくも自然な考え方の数々に魅了されてのことでした。このコラムでは、現代数学におけるものの見方=「視座」、そしてそれによるものの見え方=「眺望」の解説を通じ、現代数学の魅力の一端をお伝えしていきます★


遠アーベル幾何学の紹介

読者の皆さん、こんにちは。
K会数学科元講師の立原礼也と申します。

第4回となる今回は、筆者の専門分野である「遠アーベル幾何学」について、なるべく平易な形でのご紹介を試みたいと思います。
本来は非常に専門的な内容ですから、中身をきちんとした形でお見せすることには無理があるのですが、なんとか雰囲気を感じ取っていただけるよう努めます。

数学の中でも「数論」と呼ばれる研究分野があり、その中でも「数論幾何学」と呼ばれる領域があり、そして、更にその中の1つの潮流として「遠アーベル幾何学」は位置づけられます。ですから「数論」そして「数論幾何学」の話から始めさせてください。

「数論」は「整数論」と呼んでも同じ意味で、その名の通り整数の研究を目的とする分野です。整数というのは、0,1,2,3,...と言った、1を順に足していくことで作られる、いわば「最も普通の数」の総称です。正確に言うと、普通はこれにマイナスをつけた数、つまり-1,-2,-3,...も整数に含みますが、今回は細かいことはお気になさらないで下さい。

0,1,2,3,...というと小学校で最初に習う数ですから、簡単そうに見えるかも知れませんが、簡単そうに見えても整数は無限に沢山あります。その無限に沢山ある整数の全てに普遍的に通用する法則を見出そうという研究ですから、話は単純なものではありません。例えば、前世紀末にアンドリュー・ワイルズを中心とする仕事によって解決された、有名な「フェルマーの最終定理」も整数論の定理です。これは、多くの数学者の貢献によって部分的な解答こそ色々得られてはいたものの、問題全体としては、約350年間も未解決のままになっていたのでした。

この大問題「フェルマーの最終定理」の最終的な解決をもたらしたワイルズらの仕事の内容は、「数論」の中でも「数論幾何学」に属しているものでした。幾何学とは図形を扱う学問の総称であり、中学校の数学で言うと「図形の合同・相似」や「三平方の定理」などといった内容が当てはまります。そして、そのような中高数学における幾何学の内容とはかなり毛色の違うものではありますが、「代数幾何学」と呼ばれる種類の幾何学を数論の研究に採り入れて発展したのが、数論幾何学という分野です。(「代数幾何学」は、中高数学で言うと、高校で習う「図形と方程式」の単元の延長上に位置づけられると思います。)

幾何学を数論の研究に採り入れるとはどういうことでしょうか。本題から逸れますが、気になる読者のために、高校数学の知識を仮定してほんの少しだけ雰囲気をご説明しましょう(この段落は読み飛ばして構いません)。数論ではしばしば、代数方程式の有理数解が問題となります。例えばフェルマーの最終定理であれば、3以上の整数nに対する、方程式xのn乗+yのn乗=1の有理数解に関する問題と解釈することが可能です。すると、この方程式はxy平面上の曲線を定めているため、図形的な解釈が可能になります。xy平面のx軸、y軸という2つの実数直線をそれぞれ複素数平面に置き換えて考えることで、この方程式は、4次元空間内の2次元の曲面を定めていると見ることもできます。また更に実数や複素数以外でも様々な「数の世界」で、方程式に対応する「図形」を考察することも可能です(「数の世界」についてはこのコラムの第1回や第2回を参照してください)。ここで言う「数の世界」や鍵括弧付きの「図形」は高度に抽象的なものではありますが、ともかくこういった代数方程式の解集合として定まる図形については代数幾何学で様々な知見が集積されているため、そうした知見を適切に発展させて適用することで、興味のある元々の方程式に対しても新しい知見が得られるのです。

まとめますと，「数論」(=「整数論」)は整数を研究することを目的としており、そこに幾何学(より正確には「代数幾何学」)の手法を導入したのが「数論幾何学」だということです。この一見素朴なアイデアを汎用性のある大きな研究の流れとして成立させるためには様々な解決すべき課題があったと思いますが、20世紀半ばにそれに関する革命的な偉業を成し遂げたのがグロタンディークという数学者(を中心とする一派)でした。ワイルズらによるフェルマーの最終定理の証明も、グロタンディークの導入した概念や考え方に基礎をおくものとなっています。
そして、そんな偉大なグロタンディークが1980年代に提唱したのが、「遠アーベル幾何学」という数論幾何学の新しい考え方だったのです。 (ちなみに、ワイルズらによるフェルマーの最終定理の証明は、同じ数論幾何学ではあっても、遠アーベル幾何学との直接的な関係は恐らく全くないと思います。)

上述の内容から推察される通り、数論幾何学では、様々な抽象的な「図形」を扱います。そして、グロタンディークが提唱した「遠アーベル幾何学」の考え方は、非常に大雑把に言うと、「図形がもつ対称性をもとに、その図形の情報を復元する」という方向性のものです。これについて、以下にもう少しだけ詳しく説明しましょう。ただし、遠アーベル幾何学に実際に出てくる「図形」や「対称性」は高度に抽象的で、ここでは説明し難いものですので、今はその代わりに、もっと初等的な小学校レベルの図形を用いて、「対称性による復元」の考え方にフォーカスして説明を試みることにします。

まず正方形を想像してください。そして、正方形の重心(2つの対角線の交点)を中心として、この正方形を時計回りに90度回転させることを想像してください。(転がすように動かすのではなく、同じ場所に留まったまま90度だけ自転させるということです。)目を閉じて想像してみましょう。想像できましたか？

すると、回転の結果、もとの正方形にピッタリ重なることがわかると思います。もちろん、更に90度、計180度回転させても、もとの正方形にピッタリ重なります。そして、このように「何らかの操作を施した結果、もとの図形とピッタリ重なる」という状況になっているとき、その図形は、その操作に関する対称性をもつ、と言うことにします。例えば正方形は重心を中心とする90度回転に関する対称性をもつ、ということです。

正方形の重心を中心とする回転でこのようになるのは0度, 90度, 180度, 270度の場合のみです(「0度」は気にされなくて構いません)。例えば、正方形を45度回しても，もとの正方形とはズレていて，ピッタリ重なっているとは言えません(想像してください)。89度回すとほぼ重なりますが、少しだけズレているので、やはり「ピッタリ」とは言えません(想像してください)。正方形の回転対称性は、0度, 90度, 180度, 270度の4種類の角度だけなのです。

次に、円を考えてみましょう。この場合は、円をその重心(円の中心のことです)の周りで何度回そうと、必ずもとの円にピッタリ重なります。つまり、円は正方形と違って、ありとあらゆる角度の回転対称性をもっているのです。

したがって、円と正方形であれば、重心を中心とした回転対称性の情報だけから識別することが可能になります。つまり、「2つの図形AとBがあります。どちらが正方形で、どちらが円でしょう？」という問題に対しては、AとBそのものを実際に見なくても、例えば「Aの回転対称性は4個で，Bの回転対称性は無限個だよ」といった感じのヒントさえ与えてもらえれば、「ではAが正方形でBが円ですね」と回答できる、ということです。

このような具合で、「図形がもつ対称性さえわかれば、図形を直接見なくても、その図形の情報が引き出せる(復元できる)ことがある」という示唆が得られると思います。非常に大雑把に言えば、数論幾何学の設定でこういった方向性の考察をしよう、というのが遠アーベル幾何学の考え方なのです。

上の円と正方形の例では、対称性だけから図形を完全に復元することはできていません。例えば、図形があらゆる角度の回転対称性をもつことがわかっていたとしても、実は、その図形は円とは限りません。また、もっと当たり前のことですが、円であることが仮にわかったとしても，もちろんその円のサイズまでは特定できません。正方形についても同様のことが言えます。

これに対して、遠アーベル幾何学の設定ではこれよりも遥かに複雑な対称性があり、その複雑さを有効活用するおかげで、しばしば「完全な復元」が可能となります。実のところ、「遠アーベル」というグロタンディークによる造語は、非常に大雑把に言うと、対称性がきわめて複雑である(したがって、その分だけ豊かな数学的情報が内在している)ことを意味する言葉なのです。また、その複雑な対称性を活かしてなお「完全な復元」までは到達できない(ことが証明できる)場合でも、どの程度までなら(不完全な)復元ができるか？という分析も興味深い話題となり、実際に研究されています。

このような具合で、「ある種の数論幾何学的な図形の情報を、その図形に関連する対称性の情報のみから復元する」というのが、遠アーベル幾何学で取り扱われる問題です。なお、筆者は、「復元」とは人間の数学的思考の根幹にある、きわめて原始的で大切な考え方だと思っています。個人的な話になりますが、この「復元」に真正面から向き合って実際に成果をあげていることが、筆者が遠アーベル幾何学に強い魅力を感じ、専門分野として選んだ理由でした。

話が抽象的になりましたので、「それが結局、今回の冒頭で言及したような整数の研究にどう役に立つのか」は想像もつかないことだと思います。そして実際、遠アーベル幾何学に限らず、数学の研究というのはしばしば、従来の素朴な目的意識からは一見かけ離れてしまうものです。しかしこれは、ただの机上の空論、というわけではありません。それは言わば(適切な喩えかどうかわかりませんが)険しい山を登ろうとするときに、無防備に考えなしに挑戦するのではなく、装備品の準備をしたり、山道を整備したりするようなものです。「この研究によって、物事の理解をより深めることができ、巡り巡って従来の素朴な問題意識にも役立つ」といった目論見のもとで、研究は行われているのです。そこがはっきりしていれば、「従来の素朴な問題にどう役に立つのか」という問いには、必ずしも直接的な回答までは与えられなくてもよいように思います。遠アーベル幾何学の場合にも、提唱者のグロタンディークが描いていた「大体こういうふうにして役に立つのではないか」というアイデアはありましたが、そこまでハッキリとしたものではなかったはずです。

とはいえ、そうした研究の積み重ねの先で、「山頂」にまで到達する人も現れます。数論幾何学全般で言えば先述のワイルズの例が最も有名ですが、遠アーベル幾何学の場合、次の例が代表的でしょう。2012年、筆者がまだ中学生の頃でしたが、abc予想と呼ばれる難問の解決を含む「宇宙際タイヒミュラー理論」が、日本人数学者の望月新一氏により発表されました。理論は斬新かつ難解で、検証にも時間がかかったようですが、2021年にはPRIMSという学術誌から出版がなされました。理論は高級でも、ゴールにあるabc予想はある意味では高校数学の知識で理解が可能なものであり、また様々な初等整数論の問題の解決にも直接的に寄与するものですので、この仕事は1つの「山頂」に喩えても良いと思います。この理論に改良を加えた2018年の論文(望月新一氏、それからこの記事の筆者にとって指導教員=「師匠」にあたる星裕一郎氏、を含む5名の共著論文)では、ワイルズらによるものとは全く異なる、フェルマーの最終定理の新しい証明までも与えられています。

実は、望月新一氏は遠アーベル幾何学の大家であり、abc予想を解決した宇宙際タイヒミュラー理論も、氏による遠アーベル幾何学の独創的な研究を基礎として構築されている理論です。(ちなみに、遠アーベル幾何学のこのような使われ方は、グロタンディークが元々描いていた構想と全く無関係とまでは言えないものの、随分違うものとなっています。)ですから、「遠アーベル幾何学が、整数論の素朴な問題に、どう役に立つのか」といった質問には、(前述の通り、直接的な回答はなくても良いと筆者は思うのですが、一応は)「それでabc予想が解けた」という直接的な回答が示せることになります。

なお、遠アーベル幾何学ではありませんが、代数幾何学や数論幾何学に関連する考え方は、今では、整数論の問題を解くのに役立ってくれるだけではなく、情報・暗号技術の基本となって(例えばICカードやスマートフォンの「中身」として)我々の生活を支えてくれているようです。となれば遠アーベル幾何学も、abc予想の証明に使えるだけではなく、100年後、もしかすると20年後の人類の生活をもっと直接的に豊かにしてくれるのかも知れない、などと、同分野を専門とする一人の学生としては空想してしまうものです。

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(補足) いくつかの専門用語の紹介

既に述べた通り、遠アーベル幾何学では「ある種の数論幾何学的な図形の情報を、その図形に関連する対称性の情報のみから復元する」というのが基本的な問題になります。自分でもっと調べてみたい読者もいらっしゃるかも知れませんから、ここでは、これを、本物の専門用語を使って言い直してみたいと思います。

きちんと説明するのは不可能ですが、難しい専門用語は見た目だけでも何となく格好良いような気もします。実際、私の場合、子供の頃、数学を本格的に勉強する前から、そういった専門用語が沢山出てくる記事などに目を通して、何もわからないままにワクワクした気持ちになっていた思い出があります。ですので、そのくらいの大雑把な気持ちで眺めて頂ければ幸いです。

まず「ある種の数論幾何学的な図形」についてですが、これの指す範囲は厳密に決まっているわけではありません。つまり、単に今この場で説明ができないというのではなく、そもそも提唱者のグロタンディーク自身も、どのような図形が遠アーベル幾何学の対象となるのかを完全に明確にしたわけではありませんでした。そして現在なお、この「どのような図形が遠アーベル幾何学の対象となるのか」自体が遠アーベル幾何学の研究内容の1つになっています。

とはいえ、少なくとも、基本的な考察範囲は「代数多様体」と呼ばれる数学的対象たちのうちの一部であること、そして「双曲的代数曲線」が遠アーベル幾何学の対象として含まれることは間違いありません。今なお、遠アーベル幾何学の研究の大部分は、双曲的代数曲線に関するものとなります。ちなみに、更に正確に言うとグロタンディークの構想は「有限生成体上の双曲的代数曲線」などでのものでしたが、望月新一氏によって後に、有限生成体上だけではなくp進体上などでも遠アーベル幾何学が可能であることも明らかになりました。このp進的な遠アーベル幾何学が、宇宙際タイヒミュラー理論でも本質的に用いられています。

さて、次に「対称性」ですが、これは現代数学では「群」という数学的構造によって扱われます。(「数学的構造」については前回の第3回の記事をご参照ください。)「群」は現代では最も基本的な概念の1つであり、K会の現代数学講座の代数分野で真っ先に学習する概念の1つでもあります。

遠アーベル幾何学で扱う対称性(群)は、これも本当は色々あるのですが、代表的なのはグロタンディークが定義した「エタール基本群」というものになります。なお、先ほど正方形や円の回転対称性を考えましたが、エタール基本群で扱う対称性はこれとは随分違います。正方形や円の回転対称性は、考察下の図形そのものの対称性でしたが、エタール基本群ではそうではなく、各図形に対して定まる「普遍被覆」という別の図形の対称性を調べたものとなります。5次以上の方程式の冪根による解の公式の非存在の証明に関連して有名な「ガロア理論」というものがありますが、そこに出てくる「ガロア群」(より正確には、その「親玉」である「絶対ガロア群」)も、エタール基本群の一種と考えられ、遠アーベル幾何学でも不可欠の役割を果たします。(ガロア理論に出てくる「分離閉包」が、ここで言う「普遍被覆」に対応します。)「遠アーベル(anabelian)」という形容詞は，このエタール基本群やガロア群が「アーベル群からほど遠い」という感じの意味になります。

以上をまとめますと、遠アーベル幾何学では「ある種の代数多様体(その一例として、p進体上の双曲的代数曲線)の情報を、そのエタール基本群の情報のみから復元する」という問題を扱っている、ということになるわけです。

例えば、前回の第3回の記事で解説した「同型」という単語を使うと、「XとYをp進体上の双曲的代数曲線とする。Xのエタール基本群とYのエタール基本群が同型ならば、XとYは同型か？」といった感じの問題や、その精密化バージョンや様々な変種などが考察されることになります。

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（意欲ある読者に向けた、答えのない演習問題）

1. 円ではないけれども円と同様の回転対称性をもつ図形を見つけてください。つまり、xy座標平面の部分集合Aであって、Aを原点を中心にどのように回転してもAとピッタリ重なるけれども、原点を中心とする円ではないものを見つけてください。また、同様に、正方形と同様の回転対称性をもつ図形を見つけてください。

2. 30度の回転に関する回転対称性をもつ図形は、 60度や90度の回転に関する回転対称性ももつことについて納得してください。また、60度の回転に関する回転対称性をもつけれども、30度の回転に関する回転対称性はもたない図形を見つけてください。60度の回転と90度の回転の両方に関する回転対称性をもつけれども、30度の回転に関する回転対称性はもたない図形は存在するでしょうか？

3. 群の定義や様々な具体例を調べてみてください。群という概念が対称性という概念(のある側面)の数学的抽象化を与えていることに納得できるでしょうか？例えば、円や正方形の回転対称性の場合、群の言葉で言えばどのように理解できるでしょうか？

本日はセミナーのお知らせです！

『実験で学ぶ化学～光を繰って化学マジック～』
11月10日（日）11:00～13:00
講演者：吉田　悠真
講演案内はこちらから

吉田先生は灘高等学校を卒業され、現在は東京大学理学部化学科に在籍されています。
高校時代には第52回国際化学オリンピック、イスタンブール大会銀賞。日本生物学オリンピック2021金賞、物理チャレンジ2021銀賞、日本情報オリンピック2020本選出場とさまざまな分野で活躍されていました。
化学はもちろんですが、さまざまな知識をお持ちでトークがとても面白い先生です。化学の理論を平易な言葉を使い、しかし、理論の内容は子ども相手だからと曖昧にするのではなく、本格的なことを丁寧に教えて下さいます。
そんな吉田先生が今回のセミナーで取り上げる内容は
「光」です！！

光を放つ身近なものは？と尋ねられたら、何を思い浮かべるでしょうか。
例えば、太陽や電球などが思い浮かぶと思います。その他、ホタルや炎などが思い浮かんだ方もいるのではないでしょうか。
光を放つにはあるエネルギーを光のエネルギーに変換しなくてはいけません。
言葉にすると「変換」のたった２文字ですが、光を放つまでに太陽やホタルの中では様々なことが行われています。

今回のセミナーでは演示実験を通してものが光る仕組みを分かりやすくご紹介します。
化学で使う用語の意味などその都度説明しますので、まだ化学を本格的に学んだことのない方もご安心ください。
本セミナーが化学により興味をもって頂くきっかけになれば幸いです。

親子、お友達同士でお誘いあわせのうえ、ぜひご参加下さい♪


お申込・お問合せ
K会事務局　☎03-3813-4581
受付時間　火～土曜日（13:00-19:00）

みなさんこんにちは。K会事務局です！

本日10 /22（火）13：00から夏期講習の受付がはじまりました！
設置講座は数学・英語・情報・物理・化学・生物・地理・地学・言語学の全20講座！
詳しくは下記URLよりご確認ください。
https://www.kawai-juku.ac.jp/winter/kkai/

K会の冬期講習は、会員の方以外もお申込みいただけます。
毎年、受講いただいている生徒さんの半数以上がK会生以外の生徒さんです。
初めてK会の講座を受講するという生徒さんもたくさんいますので

「面白そう」　「学んでみたい」　「挑戦したい」

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科学オリンピック講座をはじめ、超越数論や、量子コンピュータ入門、免疫学など、
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【お問い合わせ】K会事事務局
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━【「言語学をのぞいてみよう その38」(元Ｋ会英語科講師：野中大輔) 】━
★このコラムでは、言語学を研究している筆者（元Ｋ会英語科講師）が、英語・言語学・外国語学習・比較文化などの話題をお伝えしていきます。★

コトとモノについて考える

こんにちは、元K会英語科講師の野中大輔です。前回（その37）に引き続き、今回のコラムでも私が日常生活で見つけた表現を取り上げたいと思います。

先日バスに乗ったら、次のような注意書きが目に入りました。「熟睡、イヤホンなどによる乗り過ごしが増えています。目的地を過ぎないように気を付けましょう」と書いてあり、うっかり乗り過ごしてしまう人が意外といるんだなあと思って読んでいたところで、興味深い表現が含まれていることに気づきました。「熟睡、イヤホンなど」の部分です。「熟睡」「イヤホン」「など」の３つに分けて考えてみましょう。

まず「熟睡」について。「熟睡」の意味は〈ぐっすり眠ること〉ですね。このように、〈～すること〉を表す名詞を「コト名詞」と呼ぶことにします。他のコト名詞には「勉強」や「読書」などがあります。一方、「イヤホン」は〈一人で音楽・音声を聞くために耳に付けるもの〉です。こちらは「モノ名詞」と呼んでおきます。「えんぴつ」や「教科書」などもモノ名詞です。次に「など」についてですが、「Ａ、Ｂなど」と言うときはＡとＢに同じタイプの表現を用いるのが普通でしょう。たとえば、「勉強、読書などが苦手」はごく普通の表現ですが、「勉強、教科書などが苦手」はおかしいと感じるのではないかと思います。

以上のことを踏まえると、「熟睡、イヤホンなど」は、「Ａ、Ｂなど」のＡにコト名詞、Ｂにモノ名詞という異なるタイプの名詞を並べているため、不自然な表現になることが予想されます。ところが、「熟睡、イヤホンなどによる乗り過ごし」は十分に意味が通じますし、かなり自然に感じられます。これが、私が興味深いと思ったポイントです。

コト名詞とモノ名詞を並べても成立する表現があるのはなぜでしょうか。先ほどはコト名詞とモノ名詞を分けて説明しましたが、実はコトとモノはそんなに単純に分離できるものではありません。イヤホンは何のためにあるのかと言えば〈一人で音楽・音声を聞くため〉であり、「イヤホン」の意味にはコト（聞くこと）が含まれています。このようにコトを意味に含んだモノ名詞は、時にコトの部分が表面化するような使い方がなされます。もし図書館内に「館内ペットボトル禁止」と書いてあれば、「館内にペットボトル飲料を持ち込むこと」または「館内でペットボトル飲料を飲むこと」の禁止を表していると理解されるはずですが、この場合もモノ名詞である「ペットボトル」がコト的に用いられています。そして、熟睡すること、イヤホンで何かを聞くことは、どちらも注意力を低下させることの例ですから、「A、Bなど」の形で並べたくなるのも自然だと言えます。このように考えれば、「熟睡、イヤホンなどによる乗り過ごし」という表現が成立することにも納得がいきますね。

なお、先ほど見た「勉強、教科書などが苦手」における「教科書」にもコト（読む）の意味が含まれていますが、教科書を読むことは勉強することの一部だと言えますから、「A、Bなど」の形で並べるのは変であり、日本語として自然に感じられるようにするには「勉強、特に教科書を読むことが苦手」などの言い方にする必要があるでしょう。

ここまでずっと日本語の話をしてきましたが、最後に少しだけ英語の話も。英語では無生物主語の表現がよく見られます。たとえば、「～させる」を表すmakeを用いたThe letter made me cry.などの例があります。日本語だと「その手紙が私を泣かせた」といった言い方はあまりせず、「その手紙を読んで泣いてしまった」などが普通の言い方です。無生物であるthe letterが主語になっている点に着目するだけでなく、the letterがコト的に使用されている、つまり「手紙を読むこと」と解釈される点にも着目すべきではないかと思います。どうやら、モノ名詞をどの程度コト的に用いるのかについては、言語によって差がありそうです。こういった点に注意しながら英語を学ぶのも、おもしろいのではないかと思います。

━【「音楽から見る数学10」(元K会生・元K会数学科講師：布施音人) 】━
★このコラムでは、数学と音楽の両方に魅せられてきた筆者が、数学と音楽の共通点を考える中で見えてくる数学の魅力について、筆者なりの言葉でお伝えしていきます★

― 倍音列 ―

こんにちは。元K会数学科講師の布施音人です。
今回は倍音についての話をします。少し音楽に寄った話なので、馴染みのない方には分かりづらい話かもしれませんが、お付き合いください。

さて、みなさんは小学校でリコーダーを吹いたでしょうか？リコーダーで息を強く吹き込むと、出したかった音よりも高い音が「ピー！」と鳴ってしまったことはないでしょうか。例えば、低い「ミ」を鳴らそうと、左手の親指、人差し指、中指、薬指、右手の人差し指、中指で完全に穴を塞ぎ、強く吹くと、1オクターブ高い方の「ミ」が鳴ることがあります。この高い方の音は低い方の音の倍音であると言えます。

ある周波数fの音に対し、その倍音とは、fの2以上の整数倍（2f, 3f,...）の周波数を持つ音のことを言います。このとき、元の周波数fの音のことは基音と呼びます。基音と倍音とは密接な関係にあります。周波数fの音が鳴るように張られた弦があったとき、その弦は周波数2fの音や3fの音を鳴らすこともできます。これは弦楽器では「ハーモニクス」と呼ばれる奏法で、例えば弦の両端のちょうど中心に軽く指を押し当てながら、弦をはじくまたは弓で弾くと、指を押し当てていないときの音程の2倍の周波数の音が鳴ります。また、リコーダーやフルートのような管楽器でも、同じ運指で穴を塞いだまま、息の吹き込み方を変えることで、一番低い音の2倍、3倍の周波数の音を出すことができます。

この倍音の概念は、数学や物理学と密接に関わりながら定式化されてきました。その中で一つの核となる概念が「フーリエ級数」です。

実数変数の実数値関数φ（ファイ）が、周期Tを持つとします。すなわち、任意の実数xについてφ(x)=φ(x+T)が成り立つとします（φが満たすべきその他の性質は割愛します）。このとき、大雑把に言えば、φは、周期Tのsinとcos, 周期T/2のsinとcos, 周期T/3のsinとcos,...に適当な係数を掛けたものの和で表される、というのがフーリエ級数の概念です。ここで、周期と周波数は互いに逆数の関係にありますから、言い換えれば、周波数fの任意の波は、周波数fの正弦波, 周波数2fの正弦波, 周波数3fの正弦波,...の重ね合わせだということになります。（sin xやcos xのグラフと相似な波を正弦波と呼びます。）すなわち、周波数fの音の中には、周波数fの成分、周波数2fの成分、周波数3fの成分、･･･がすべて入っていることになるのです。また、逆に、周波数fの正弦波、周波数2fの正弦波、周波数3fの正弦波、･･･を適当なバランスで同時に鳴らすことで、周波数fの任意の音を作り出せるということにもなります。シンセサイザーを始めとする、電子的に音を作り出す楽器は、フーリエ級数の考え方を大いに活用して作られています。

ところで、倍音とは具体的な音名では何になるのでしょうか。まず、2倍音はオクターブ上の音となります。そして、以前にも述べたように、周波数の比が音高の差に一致しますから、オクターブずつ上に上がっていく音列は、2倍音、4倍音、8倍音･･･という音列となります。では2^n以外の倍音はどうでしょうか。3倍音は、オクターブと完全五度上の音、5倍音は2オクターブと長三度上の音となります。（厳密にはピアノなどの楽器で採用されている調律とは少しずれが生じます。）6倍音は3倍音の2倍ですから、2オクターブと完全五度上の音です。ということは、「ドミソ」という長三和音は、2オクターブ低いドの4,5,6倍音で構成されていると言え、比が大変きれいです。実際、「ドミソ」がいかに自然であるかの説明を倍音に求めた音楽理論家が数多くいます。

それでは、1,3,5や1,4,7など、n倍音側で等差数列になっている和音はどのような響きがするでしょうか？それはきれいに感じられるでしょうか？人間の感性の源をすべて数学的な秩序に求めるのは危険ですが、興味はつきません。

みなさんこんにちは。K会事務局です！

夏期講習の開始まで１週間を切りました！
第１ターム（7/30～8/2）の講座は7/27（土）19:00までがお申込期限です。
特に「結び目理論」「数学オリンピックに学ぶ証明問題の考え方（対面）」は締切間近です。
✕：締切　　▼：残り3名以下　　△：残り10名以下　　〇：残り10名以上
※数学オリンピックに学ぶ証明問題の考え方の映像受講については定員は関係ございません
※講座の詳細はこちらから

また、５ターム「Pythonではじめるプログラミング入門」も締切間近となりました。
こちらの申込期限は8/17（土）となっておりますが、定員に達し次第申し込みは終了といたします。

暑い日が続いています。講習受講の際は授業中であっても適度に水分補給を心がけましょう。
お飲み物を忘れた場合は、5階にある自動販売機でご購入いただけます。
また、教室の寒い・暑いなどは遠慮なく講師へお申し出ください。空調を調整いたします。
一方で、寒い暑いの感覚はそれぞれ異なります。自由席ですので冷房が丁度良い位置に移動したり、寒い場合は一枚羽織るものを用意するなど、ご自身でも快適に過ごせるように調節をお願いします。
※マスクの着用はスタッフ・講師を含め任意としております。

それでは、夏期講習で皆さんにお会いできることを楽しみにしております♪

お申込・お問合せ
K会事務局　☎03-3813-4581
受付時間　火～土曜日（13:00-19:00）